动态投入产出系统

出处：按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第223页（1134字）

利用结构矩阵A=(a_ij)，投入产出系统可以表示为矩阵形式

(I－A)x=y

其中I是恒同矩阵，x是部门产出向量，y是最终需求向量。

如果在部门关系中把时滞和变量关于时间的变化速率也考虑进去，就导致动态投入产出系统。

部门j每单位产出所必须贮存的部门i的产品量值，称为部门j中商品i的资本系数，记作b_ij。矩阵B=(b_ij)反映经济系统的资本结构。

某一部门的固定资产和现时投入，实际上是在生产前就准备好并且在生产的整个过程中使用的，所以相应的产量实际上是在不同的时期被吸收和被产出的。

在年度t，部门i的平衡方程是下述线性微分方程：

x_i(t)－a_ijx_j(t)－…－a_inx_n(t)－b_i1x₁(t)－…－b_inx_n(t)=y_i(t)

其中x_j(t)和x(t)分别是部门j在年度t的产出量和产出变化率。实际使用时，则采用相应的差分方程

x_i^(t)－a_i1x_i^(t)－…－a_inx_n^(t)－b_i1(x₁^(t+1)－x₁^(t))－…－b_in(x_n^(t+1)－x_n^(t))

=y_i^(t)

其中x_j^(t)表示部门j在年度t的产出，而年度产出的变化就是x_j^(t+1)－x_j^(t)。

把各部门的差分方程放在一起所组成的差分方程组，是长周期投入产出分析的基础。

以高度简化的三部门(农业、工业、居民)两产品(小麦、棉布)系统的三个年度的长周期分析为例，方程组由6个方程组成，右边分别是y₁⁽¹⁾，y₂⁽¹⁾，y₁⁽²⁾，y₂⁽²⁾，y₁⁽³⁾，y₂⁽³⁾，而左边含有x₁⁽¹⁾，x₂⁽¹⁾，x₁⁽²⁾，x₂⁽²⁾，x₁⁽³⁾，x₂⁽³⁾，x₁⁽⁴⁾，x₂⁽⁴⁾8个未知数。

把x₁⁽¹⁾，x₂⁽¹⁾作为已知，则最终可将x₁⁽⁴⁾，x₂⁽⁴⁾作为6个y_i^(t)的函数解出来，这意味着对x₁和x₂进行预测。反过来，把x₁⁽⁴⁾，x₂⁽⁴⁾作为已知来解差分方程，就是对x₁和x₂制定计划。

与静态系统情形一样，投入产出动态系统的各种功能，取决于对方程组的不同处理。