非标准分析

出处：按学科分类—自然科学总论 天津人民出版社《自然辩证法辞典》第504页（726字）

现代数学的一个分支学科。

它是相对于标准分析而言的。所谓标准分析是指19世纪由柯西(Cauchy，A．L．)和魏尔斯特拉斯(Weierstrass，K．)等人严格化了的微积分理论，其特点是在实数理论上建立微积分的逻辑基础，从而排除了微积分理论产生初期使用的含糊的无穷小量。这种标准分析产生后，在微积分理论研究中一直占统治地位。

可是，到了1960年，美国数理逻辑学家鲁滨逊(Robinson，A．)用数理逻辑的方法证明了无穷小量的存在，重新把无穷小量引入微积分，扩大了实数域，从而建立了一种与标准分析不同的新的微积分理论，即非标准分析。

20多年来，非标准分析在理论上不断完善，并在微分方程、拓朴学和函数论等领域中得到了应用。非标准分析是微积分理论辩证发展的必然产物，从牛顿、莱布尼茨的微积分到柯西、魏尔斯特拉斯的标准分析再到鲁滨逊的非标准分析，实际上是一个“否定之否定”的辩证发展过程。

非标准分析又为深入理解量变质变规律提供新的数学模型，它较好地克服了标准分析缺乏直观等局限性，为微积分理论展示了新的几何解释，从而使人们对量变质变规律的认识有了进一步的可靠的数学根据。非标准分析的形成还为数学发展的相对独立性提供了新的例证，同时更为这种相对独立性丰富了新的内容：(1)从数学新理论产生上看，数学发展的相对独立性不仅表现在计量数之分支之间的相互渗透上，而且也反映在计量数之分支与非计量数学分支的彼此结合上；(2)从思维的能动性上看，数学发展的相对独立性往往体现为冲破理论禁区，促进理论体系内部的矛盾运动；(3)从数学研究对象与方法的关系上看，数学发展的相对独立性还常常反映在这两者之间的彼此渗透和相互促进上。