函数论

出处：按学科分类—自然科学总论 天津人民出版社《自然辩证法辞典》第569页（583字）

实变函数论与复变函数论的总称。

复变函数论的研究对象是解析函数，又称解析函数论。虽然虚数早在16世纪中叶卡尔丹诺(Cardano，H．)已经正式使用，但因没有找到它的实际意义而未能普遍使用。18世纪复变函数论开始形成，到19世纪便成为在理论上比较系统的一门学科。

它的主要创始人是柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯。

它们分别用微分、保形变换及级数的观点建立起解析函数的相应理论。整函数与半纯函数作为复变函数论中的一个重要分支，主要研究对象是：模分布论、渐近值理论及幅角分布论。

世界上的函数论学者一直把这三个方面各自独立地进行研究。本世纪70年代，我国青年数学家杨乐、张广厚从矛盾对立中去研究渐近值、亏值和茹利雅方向，揭开了三者之间的奥妙关系，取得了突破性的成果。

定义在实数范围上的实值函数叫做突变函数，研究实变函数的可积性、测度理论等的学科称作实变函数论。实变函数论形成较晚。19世纪以来，人们发现：存在连续但处处不可微的函数；连续函数的级数其和是不连续的，函数的有限导数并不黎曼可积；可积函数列的极限并不可积；可求长的但不符合微积分中弧长定义的曲线等怪现象。这些现象都与函数、导数和积分所期望的性态相矛盾。

解决这些矛盾现象，进一步研究函数的性态，便导致了实变函数论的产生。因而，实变函数论是在解决数学理论自身矛盾的过程中形成的。