三角线法

出处：按学科分类—工业技术 江苏科学技术出版社《铆工实用技术手册》第149页（5860字）

在钣金制件上有的表面(平面或曲面)不宜或不可以用平行线或放射线法直接求作其展开图时，常把这种表面划分成若干三角形平面或三角形曲面，然后求得三角形各边的实长，再由已求得的三角形边长依次拼画出各个三角形，就能作出制件的表面展开图。这种应用三角形作图原理求作展开图的方法，称为三角形法或三角线法。

1．平面体表面展开图的作法

在钣金制件中有的表面形状由于功能需要而设计成各种奇异的形状。由于构件的形状不规则，若采用平行线法或放射线法作其展开图时，不能作出或作图繁琐，此时，应采用三角线法作图。

【例14】 求作图3－28所示上下方口错位漏斗的展开图。

图3－28 上下方口错位45°漏斗展开图

(1)分析

从图中可知上下口均为正方形，但位置偏错45°，整个侧面由两对的四个全等腰三角形所围成。其上下口是水平面，水平投影的正方形为实形，各边a、b为实长，八条侧棱相等，是一般位置直线。若以Ⅰ Ⅱ为接缝边，则展开图应有九个三角形(首尾为直角三角形)。由于对称形，所以只需求作其中三个三角形的实形即可。接缝线Ⅰ Ⅱ为正平线，正面投影1′2′为实长(n)，等腰三角形的腰长m用旋转法求得。

(2)作图

①用旋转法求作三角形中一条腰长的实长，如以c为圆心，过点d画圆弧求得、为腰长m的实长。

②分别用a、b、m、n为边长，依次作出各个相邻三角形，即得其展开图。

由于梯形高和底边垂直，所以Ⅰ Ⅱ垂直1／2a，根据直角三角形已知两个直角边长(即1／2a和n)便可作出的原理，斜边m为等腰梯形两腰的实长，所以不需用旋转法求腰长的实长。

【例15】 求作图3－29所示的上斜口、下平口错位漏斗展开图。

图3－29 上斜口、下平口漏斗展开图

(1)分析

该漏斗上下口是正方形，但不平行，下口水平面投影正方形反映实形，上口为正垂面，用换面法求出其正方形的实形，以得各边的实长。八条侧棱是一般位置直线(前后对称，对应相等)，用直角三角形求得各棱的实长。将侧面划分为八个三角形，Ⅰ Ⅳ为接缝线，所以有九个三角形(头尾直角三角形)，接缝线Ⅰ Ⅳ是正平线，1′(4′)为实长。

(2)作图

①用换面法求出上口实形，得一正方形，边长m为实长，见图3－29(b)所示。

②用直角三角形求出各边线AⅠ、AⅡ、BⅡ、BⅢ的实长，见图3－29(c)的图解。

③以Ⅰ Ⅳ为接缝线，依次画出九个三角形(因对称形只能画出其中四个半的三角形)。作图时，先画直角三角形Ⅰ ⅣA，再依次画出其他三角形，而直角三角形ⅢBV应用直角作图法求得，见图3－29(d)。

【例16】 求作图3－30所示的上斜口、下平口接头展开图。

图3－30 上斜口、下平口接头展开图

(1)分析

该接头前后对称，上斜口呈梯形是正垂面，用换面法求得实形，下平口也呈梯形是水平面，水平投影反映实形，两梯形的朝向相反。左右两侧是等腰梯形，前后侧不是梯形，是由两个三角形所组成，因为AB和CD两条线是交叉线，不能构成同一平面，所以应把其分成两个三角形平面，如△ABC与△BCD。下平口梯形的各边实长从俯视图量得，上斜口梯形的各边实长从换面法的图中量取，左右侧等腰梯形高从主视图量得，其他各边实长用直角三角形求得。

(2)作图

①用直角三角形法求得AC、BC、BD的实长。

②以Ⅰ Ⅱ为接缝线，先作左侧的等腰梯形的一半，再依次作△ABC与△BCD。

③作直角梯形BDⅢ Ⅳ(等腰梯形一半)，作法是先作辅助直角三角形，然后再补齐成直角梯形。

④由于前后对称，以Ⅲ Ⅳ为对称线，求作整个展开图。

2．曲面体表面展开图的作法

钣金制件中有的曲面从理论上说是不可无皱褶和无裂开地展开(摊平)在一个平面上，如球面、圆环面等。这种曲面都属不可展的曲面。在生产实际中只能将不可展曲面用近似画法展开。其基本方法是将不可展曲面划分为若干较小曲面，并近似地用可展曲面或平面代替。然后画出其展开图。画不可展曲面的展开图常用三角形(线)法。使每一小部分的形状接近于某一可展曲面或平面。

对于不可展曲面，理论上不可能准确地作出其展开图，只能近似地将其展开。对不可展直线曲面可用三角形法展开，三角形法是在不可展直线曲面先作出一系列素线［图3－31(a)］，每两条素线间构成一个四边形曲面，然后再引此四边形的对角线，将四边形又分为两个三角形，用一系列三角形平面来代替一系列三角形曲面，通过图解法求出各个三角形的边长，然后依次画出一系列三角形的实形，便能获得不可展曲面的近似展开图。三角形法中四边形的两条素线是直线，但另两边都是曲线，所作对角线也是曲线。形成的三角形本身也是曲面，所以用直线代替曲线，由平面代替曲面，其作出的展开图有一定误差。

【例17】 求作图3－31所示的马蹄形管接头的展开图。

图3－31 马蹄形管接头的展开图

(1)分析

从图3－31(a)、(b)可知。接头上下口为圆形，上口是正垂面，正面投影积聚为一直线，水平投影为椭圆；下口是水平面，水平投影为圆的实形。由于上下口是互相不平行的圆，这种接头的曲面不属锥面，应属不可展的曲面，只能采用三角形法近似作图。把上下圆周等分成相同等份，对应点连成线，作出曲面一系列的直线，得若干四边形曲面，然后再引四边形对角线(曲线)将四边形曲面分为两个小三角形曲面，并用一系列小三角形平面代替小三角形曲面展开，近似地获得马蹄形表面展开图。

(2)作图

①将上下口圆周等分12等份(上口用投影换面法求得圆，仅画半圆)得到各等份点，连接各对应等份点OⅠ、Ⅱ Ⅲ、Ⅳ Ⅴ……得12个梯形曲面OⅠ Ⅱ Ⅲ、Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ……(前后对称，仅画6个)。

②引梯形对角线曲线Ⅰ Ⅱ、Ⅲ Ⅳ……将曲面又分成24个三角形的曲面(仅画12个)。

③用直角三角形法求得各直线和对角线(曲线当成直线)的实长(见主视图左右的图解)。如在俯视图量得12、23为直角边，1′2′、2′3′的高度差作另一直角边，斜边1₁2₁=Ⅰ Ⅱ，2₁3₁=Ⅲ Ⅳ为实长。

④用求得直线和对角线的实长和对应上下口圆的一个等份弦长为三角形边长，依次作出三角形OⅠ Ⅱ、Ⅰ Ⅱ Ⅲ、Ⅱ Ⅲ Ⅳ……得三角形一系列的顶点O、Ⅱ、Ⅳ……和Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ……

⑤把各顶点依次连成光滑曲线，得半个马蹄形的展开图。另一半对称。

【例18】 求作图3－32所示的直角换向管接头展开图。

图3－32 直角换向管接头展开图

(1)分析

从图3－32中已知直角换向管接头的上平口的圆平行W面，下平口的圆平行H面，构成90°角，其侧面为柱状面，素线是正平线，正面投影是实长。按上例作图方法，把上下口圆周等分为相同等份，对应点连线形成12个四边形的斜柱曲面，引对角线得24个斜锥曲线，用三角形平面代替斜锥曲面，并将其依次展开，得其近似展开图。

(2)作图

①将上下圆等分为12等份，连接相应等分点，得柱面上素线ⅠB、ⅡC……并把柱状面分为12个四边形的斜柱面。如OABⅠ、ⅠBCⅡ……

②连四边形对角线(曲线)AⅠ、BⅡ……将柱状面分为24个三角形的斜锥曲面。

③用直角三角形法求得对角线(曲线当成直线)的实长，见左视图右边的图解求得对角线的实长。

④用素线与对角线的实长和上下平口圆的一个等份弦长做三角形的三个已知边，作出各三角形。

⑤把各三角形的顶点顺序连成光滑曲线，即得所求，见图3－32(c)所示。

【例19】 求作图3－33所示的正螺旋面展开图。

图3－33 正圆柱螺旋面的展开图

(1)分析

如图3－33(a)、(b)所示，可知正螺旋面导程为Pn，外内圆柱面直径为D和d，螺旋面上的素线平行于H面，各素线延长与圆柱轴线相交，螺旋面变成许多锥状面，因此螺旋面也可用三角形法展开。

(2)作图

①在俯视图上将一个导程内的正圆柱螺纹面分为12等份(外内圆相同等份数)，得到等分点1、2……及a、b……把对应点分别相连，得素线AⅠ、BⅡ……的水平投影a1、b2……及正面投影a′1′、b′2′……把所得12条素线与内外螺旋线划分成12个小四边形的螺纹面ABI Ⅱ……

②在每个四边形引对角线AⅡ、BⅢ……得a2、b3……和a′2′、b′3′……的水平和正面投影，把每个四边形划分成两个三角形。

③应用直角三角形法求对角线和圆弧的实长(素线实长在俯视图中求得)。由于12个四边形和24个三角形都相等，因此只需求得一个即可。见右图解中求得Ⅰ Ⅱ、AⅡ、AB的实长。

④用素线实线AⅠ=(a1)、BⅡ=(b2)及Ⅰ Ⅱ、AⅡ、AB为三角形已知边，作出两个相邻三角形AⅠ Ⅱ、AⅡB(AⅡ为公共边)可得一个导程中正旋转面十二分之一展开图。

⑤按AⅠ Ⅱ、ABⅡ样板依次作出20个相邻三角形，得三角形各顶点A、B……和Ⅰ Ⅱ……

⑥把三角形各顶点顺序连成内外光滑曲线，即得一个导程螺旋面近似展开图。

在实际操作中有时不用作图法绘画螺旋面展开图，而是应用经验计算法。只要已知螺旋面外径D和内径d及导程P，便可近似作出其展开图，其作图步骤如下：

①求出一个导程Pn螺旋面的内外螺旋线的实长：用πD(外圆周长)和导程Pn为直角边作直角三角形EFG，斜边EG为正螺旋面外边缘的实长a；πd(内圆周长)和导程Pn为直角边作另一个直角三角形EFH，斜边EH即为正螺旋面内缘的实长b见图3－34(a)、(b)、(c)。

图3－34 正圆柱螺旋面展开简易作图

②作一个等腰梯形ABCD，使AB=b、CD=a，腰高等于(D-d)／2(外径与内径差的一半)。

③延长DA与CB交于点O，过O引梯形中心线交于AB、CD于点1、2。分别以O为圆心，O1和O2为半径画两个同心圆。在外圆周上量取一段圆弧长24等于a(EG)或内圆周上量取一段圆弧长13等于b(EH)，得点4或点3，把点4或点3与O连线，得圆形1234的同心面，为正螺旋面近似展开图，见图3－34(d)。

另一种更为简化作图法，是用一条铅丝在直径为d的圆柱面螺旋线上绕一周(一个导程)，则铅丝的长度为螺旋线的实长，再以d=铅丝长度／3．14，D=d＋2b(螺旋面的宽度)作同心圆，即得正螺旋面的近似展开图。

实际制造时，也可不剪去图中∠O24，沿12剪开后拉开成螺旋面，然后对接焊接加工成另一螺旋面，再对接焊接加工成另一螺旋面，这样制作既可节省材料，又能使各节焊缝均匀分布、焊缝错开，使其不在同一平面上。