信号的频谱和调制

出处：按学科分类—工业技术 企业管理出版社《计量专业工程师手册》第365页（2961字）

1．信号的频谱

在无线电的实际应用中，许多信号都是非正弦的。对于周期性非正弦信号，我们可以用富氏级数把它们分解成许多正弦信号的叠加。在数学上，如果周期为2π的函数f(ωt)在｜ωt｜≤π上满足狄氏条件(工程上的函数大多满足这个条件)，则可以把函数f(ωt)写成如下的富氏级数：

当k=0时，ψ_k=0，，为信号的直流分量；当k=1时，A₁cos(ωt+ψ₁)为信号的基波(一次谐波)分量；当k=2时，A₂coS(2ωt+ψ₂)为信号的二次谐波分量，依次类推。k≥2的谐波称为高次谐波；k=1，3，…的谐波称为奇次谐波；k=2，4…的谐波，称为偶次谐波。

如果把式(7．2－21)写成复数形式为：

式中 (7．2－23)

C_k与ω的关系，即信号的幅度随频率改变的关系如图7．2－7所示，这样的幅频特性图称为频谱图。

图7．2－7 信号的幅度频谱

2．信号的调制

为了用无线电信号传送声音、图像、字符等信息，必须将包含被传送信息的低频信号调制到高频电磁波上，以高频电磁波作为运载工具实现远距离传送。被运载的低频信号称为调制信号(f_m)，用来运载信号的等幅高频波称为载波(f₀)，经调制的高频波称为已调波。

对于式(7．2－1)所描述的高频波的三个参数：幅度、角频率和相位，用调制信号控制其中任一参数，分别构成幅度调制，简称调幅(AM)；频率调制，简称调频(FM)和相位调制，简称调相(PM)。由于频率对时间的积分即是相位，所以调频和调相又统称为调角。

(1)调幅波的波形和频谱

调幅波的波形如图7．2－8，其中(a)为载波u_c(t)=U_ccosω_ct；(b)为调制信号u_m(t)=U_mcosΩt；(c)为已调幅波u(t)=U_c(1+mcosΩt)cosω_ct，式中m=U_m／U_c，称为调幅系数或调幅度。

图7．2－8 调幅波的波形

对于正弦波调制，调幅波的频谱为

u(t)=U_ccosω_ct

由上式可见，正弦波调制的调幅波由三个频率分量组成，第一项为载波分量；第二项的频率为(ω_c+Ω)，称为上边频分量；第三项的频率为(ω_c－Ω)，称为下边频分量。上、下边频分量的幅度均为载波幅度的m／2倍。已调幅波的频带宽度为调制频率的二倍。

(2)调频波的波形和频谱

调频波的波形如图7．2－9，其中(a)为载波u_c(t)=U_ccoSω_ct(b)为调制信号u_m(t)=U_mcosΩt；(c)为已调频波u(t)==U_ccoS(ω_ct+m_fcoSΩt)，式中m_f=Δω／Ω，称为调频指数，而Δω=K_fU_m，其中K_f为比例系数，Δω是调频波瞬时角频率ω与载波平均角频率ω_c的最大偏移值，它仅与调制信号幅度U_m有关，与角频率Ω无关。Δf=Δω／2π，称为频偏。

图7．2－9 调频波的波形

对于正弦波调制，调频波的频谱为

u(t)=U_c｛J₀(m_f)cosω_ct+J₁(m_f)［cos(ω_c+Ω)t-cos(ω_c－Ω)t］

+J₂(m_f)［coS(ω_c+2Ω)t+coS(ω_c－2Ω)t］

+J₃(m_f)［coS(ω_c+3Ω)t－cos(ω_c－3Ω)t］

+… (7．2－25)

式中J_n(m_f)是宗数，为m_f的第n阶第一类贝塞尔函数。

式(7．2－25)表明，在单一频率调制下，调频波的频谱由载频(式中第一项)和无穷多对旁频分量组成。通常称m_f≤1的情况为窄带调频，其实际带宽为2f_m；称m_f＞1的情况为宽带调频，其实际带宽为：

2(Δf+f_m)=2(m_f+1)f_m (7．2－26)

即忽略小于载波幅度10%的旁频分量后的频带范围。

【参考文献】：

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