函数图形的特性及其判定

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第65页（3519字）

函数单调性的判定法 设函数y=f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导．

如果在(a，b)内f′(x)＞0，则函数y=f(x)在［a，b］上单调增加．

如果在(a，b)内f′(x)＜0，则函数y=f(x)在［a，b］上单调减少．

如果在(a，b)内f′(x)=0，则函数y=f(x)在［a，b］上为常数．

函数极值定义 设函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x₀是(a，b)内的一个点．

如果存在着点x₀的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，恒有f(x)＜f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值．

如果存在着点x₀的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，恒有f(x)＞f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值．

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．

函数在一点取得极值的必要条件 设函数f(x)在点x₀处可导，且在x₀处取得极值，那么函数在x0处的导数为零，即

f′(x₀)=0．

函数在一点取得极值的第一充分条件 设函数f(x)在点x₀的一个空心邻域内可导且在x₀处连续．

如果存在δ＞0，当x∈(x₀－δ，x₀)时，f′(x)＞0；当x∈(x₀，x₀+δ)时，f′(x)＜0，则f(x)在x₀处取得极大值．

如果存在δ＞0，当x∈(x₀－δ，x₀)时，f′(x)＜0；当x∈(x₀，x₀+δ)时，f′(x)＞0，则f(x)在x₀处取得极小值．

如果当x取x₀左右两侧邻近的值时，f′(x)符号相同，则f(x)在x₀处无极值．

函数在一点取得极值的第二充分条件 设f(x)在x₀处具有二阶导数，且f′(x₀)=0，f″(x₀)≠0，那么

当f″(x₀)＜0时，函数f(x)在x₀处取得极大值；

当f″(x₀)＞0时，函数f(x)在x₀处取得极小值．

最大值、最小值(统称最值)的求法 若函数y=f(x)在闭区间［a，b］上连续，则求最大值、最小值的方法为：

在闭区间［a，b］上找出所有使y′=0的驻点和导数不存在的点，比较函数y=f(x)在驻点、导数不存在的点和区间端点处的函数值的大小，其中最大的是函数y=f(x)在闭区间［a，b］上的最大值，最小的是函数y=f(x)在闭区间［a，b］上的最小值．

在实际问题中，常运用下面的结论：

(1)若f(x)在某区间(包括各种区间)内连续且仅有一个可能极值点x₀，则当x₀是极大(小)值点时，f(x₀)就是该函数在该区间的最大(小)值．

(2)若由分析得知，确实存在最大(小)值，又在论及的区间内仅有一个可能极值点x₀，则f(x₀)就是该函数在该区间的最大(小)值．

曲线凹凸的定义 设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x₁，x₂，恒有

则称f(x)在区间I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有

则称f(x)在区间I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)．

曲线凹凸的判定定理 设f(x)在(a，b)内连续且具有二阶导数，若在(a，b)内f″(x)＞0，则f(x)在(a，b)上的图形是凹的；若在(a，b)内f″(x)＜0，则f(x)在(a，b)上的图形是凸的．

曲线的拐点 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点．

定理 如果函数f(x)在点x₀的δ邻域内存在二阶导数，则点(x₀，f(x₀))是拐点的必要条件是f″(x₀)=0．

求函数f(x)拐点的方法

方法1：

设函数f(x)在点x₀的δ去心邻域内存在二阶导数且x₀处f(x)连续．若x₀两侧f″(x)变号，则点(x₀，f(x₀))是曲线y=f(x)的拐点．若x₀两侧f″(x)不变号，则点(x₀，f(x₀))不是曲线y=f(x)的拐点．

方法2：

设函数f(x)在x₀的邻域内具有三阶导数，且f″(x₀)=0而，那么点(x₀，f(x₀))是曲线y=f(x)的拐点．

水平渐近线 见第1章．

铅直渐近线 见第1章．

斜渐近线

如果(a，b为常数)存在，则y=ax+b就是y=f(x)的一条斜渐近线．

函数图形描绘的步骤

(1)确定函数的定义域，讨论其奇偶性、周期性；

(2)求出f′(x)，并讨论单调性及极值；

(3)求出f″(x)，并讨论曲线的凹凸性及拐点；

(4)讨论铅直渐近线、斜渐近线；

(5)有时还需要补充一些点，如零点值f(x)=0．

有时只需讨论定义域、单调性、极值和渐近线，就可作出函数的图形．

平均曲率 记单位弧段上切线转过的角度的大小为△a，则平均曲率

其中．

曲率 平均曲率的极限叫做曲线C在点M处的曲率，记作

图4．3

曲率圆与曲率半径 设曲线y=f(x)在点M(x，y)处的曲率为K(K≠0)．在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D，使．以D为圆心，ρ为半径作图(见图4．4)，这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆．曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心，曲率圆的半径ρ叫做曲线在点M处的曲率半径．

图4．4

渐屈线与渐伸线 当点(x，f(x))沿曲线C移动时，相应的曲率中心D的轨迹曲线G称为曲线C的渐屈线，而曲线C称为曲线G的渐伸线．

曲率中心(渐屈线)的计算公式 曲线y=f(x)具有二阶导数y″，且y″≠0，设曲线在点M(x，y)处的曲率中心为D(α，β)，则有