二元函数的泰勒公式

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第159页（928字）

定理 设z=f(x，y)在点(x₀，y₀)的某一邻域有直到n+1阶的连续偏导数，(x₀+h，y₀+k)为此邻域内任一点，则二元函数f(x，y)在点(x₀，y₀)的n阶泰勒公式为

其中

称为拉格朗日型余项．记号表示

hf_x(x₀，y₀)+kf_y(x₀，y₀)，

(表示

h²f_xx(x₀，y₀)+2hkf_xy(x₀，y₀)+k2f_yy(x₀，y₀)．

一般地，记号表示

误差估计式

其中，M为函数z=f(x，y)在点(x₀，y₀)处的(n+1)阶偏导数的界．

误差|R_n|是当ρ→0时比ρⁿ高阶的无穷小．

当n=0时，由二元函数f(x，y)在点(x₀，y₀)的n阶泰勒公式就是二元函数的拉格朗日中值公式：

f(x₀+h，y₀+k)=f(x₀，y₀)+hf_x(x₀+θh，y0+θk)+kf_y(x₀+θh，y₀+θk)．

推论 如果函数f(x，y)的偏导数f_x(x，y)，f_y(x，y)在某一邻域内都恒等于零，那么函数f(x，y)在该区域内为一常数．

二元函数n阶麦克劳林公式 在二元函数f(x，y)在点(x₀，y₀)的n阶泰勒公式中，若取x₀=0，y₀=0，则得n阶麦克劳林公式：