多元函数的极值和最大(小)值

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第156页（2133字）

二元函数的极值 设函数z=f(x，y)在点(x₀，y₀)的某邻域内有定义，对于该邻域内异于(x₀，y₀)的点(x，y)，若满足不等式f(x，y)＜f(x₀，y₀)，则称f(x₀，y0)是该函数的极大值；若满足不等式f(x，y)＞f(x₀，y₀)，则称f(x₀，y₀)是该函数的极小值．

极大值、极小值统称为极值．

使函数取得极值的点称为极值点．

多元函数极值的必要条件 设函数z=f(x，y)在点(x₀，y₀)具有偏导数，且在点(x₀，y₀)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即

f_x(x₀，y₀)=0，f_y(x0，y0)=0．

如果三元函数u=f(x，y，z)在点P(x₀，y₀，z₀)具有偏导数，则它在P(x₀，y₀，z₀)有极值的必要条件为偏导数必然为零，即

f_x(x₀，y₀，z₀)=0，f_y(x₀，y₀，z₀)=0，f_z(x₀，y₀，z₀)=0．

驻点 使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点．

多元函数极值的充分条件 设函数z=f(x，y)在点(x₀，y₀)的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又

f_x(x₀，y₀)=0，f_y(x₀，y₀)=0．

令

f_xx(x₀，y₀)=A，f_xy(x₀，y₀)=B，f_yy(x₀，y₀)=C，

则f(x，y)在点(x₀，y₀)处是否取得极值的条件为：

(1)AC－B²＞0时具有极值，当A＜0时有极大值，当A＞0时有极小值；

(2)AC－B²＜0时没有极值；

(3)AC－B²=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论．

求具有二阶连续偏导数的函数z=f(x，y)的极值的一般步骤

(1)解方程组f_x(x，y)=0，f_y(x，y)=0，求出实数解，得驻点；

(2)在每一个驻点(x₀，y₀)处，求出二阶偏导数的值A，B，C；

(3)定出AC－B²的符号，再判定是否是极值．

求具有二阶连续偏导数的多元函数的最值的一般方法 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值．

在实际问题中，常运用下面的结论：

(1)若f(p)在某区间(包括各种区间)内连续且仅有一个可能极值点p₀，则当p0是极大(小)值点时，f(p₀)就是该函数在该区间的最大(小)值．

(2)若由分析得知，确实存在最大(小)值，又在论及的区间内仅有一个可能极值点p₀，则f(p₀)就是该函数在该区间的最大(小)值．

条件极值 对自变量有附加条件的极值，称为条件极值．

拉格朗日乘数法

(1)求解函数z=f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的可能极值点，步骤如下：

先构造函数F(x，y)=f(x，y)+λφ(x，y)(称为目标函数)，其中λ为某一常数，可由

解出x，y，λ，其中(x，y)就是可能的极值点．

(2)(自变量多于两个的情况)求解函数u=f(x，y，z，t)在条件φ(x，y，z，t)=0，ψ(x，y，z，t)=0下的可能极值点，步骤如下：

先构造函数F(x，y，z，t)=f(x，y，z，t)+λ₁φ(x，y，z，t)+λ₂ψ(x，y，z，t)(称为目标函数)，其中λ₁，λ₂均为常数，可由

解出x，y，z，t，λ₁，λ₂，其中(x，y，z，t)就是可能的极值点．