向量的线性相关性
出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第297页（2944字）
线性组合 设α1，α2，…，αs是数域P上的s个n维向量，k1，k2，…，ks是数域P上的一组数，则称向量
k1α1+k2α2+…+ksαs
是向量α1，α2，…，αs的一个线性组合，其中k1，k2，…，ks称为线性组合系数．
线性表示 若向量β能表示成向量组α1，α2，…，αs的一个线性组合，即若有一组数k1，k2，…，ks，使得
β=k1α1+k2α2+…+ksαs，
则称β可由向量α1，α2，…，αs线性表示，其中k1，k2，…，ks称为线性表示系数．
线性表示的充分必要条件 向量β可以由向量组α1，α2，…，αs线性表示的充分必要条件是，以α1，α2，…，αs为系数列向量，以β为右端常数项向量的线性非齐次方程组
α1x1+α2x2+…+αsxs=β
有解，且方程组的任一解就是线性表示系数．
任一向量均可由基本向量组线性表示 向量组
称为n维向量的基本向量组．任一n维向量α=(a1，a2，…，an)均可由基本向量组ε1，ε2，…，εn线性表示，即
α=a1ε1+a2ε2+…+anεn，
且表示法惟一．
向量的线性相关性
线性相关 数域P上的n维向量组α1，α2，…，αs，若存在不全为零的数k1，k2，…，ks，使得
k1α1+k2α2+…+ksαs=0
成立，则称向量组是线性相关的．
线性无关 一个向量组如果不是线性相关的，则称为是线性无关的．即若对于任意的不全为零的数k1，k2，…，ks，都有
k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，
则称向量组α1，α2，…，αs是线性无关的．
或者说，如果
k1α1+k2α2+…+ksαs=0
当且仅当k1=k2=…=ks=0，则称向量组α1，α2，…，αs是线性无关的．
线性相关性的判别定理
定理1 向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性相关的充分必要条件是α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以由其余的向量线性表示．
定理1′ (定理1的逆否命题) 向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关的充分必要条件是α1，α2，…，αs中任一向量均不能由其余向量线性表示．
定理2 设
则向量组α1，α2，…，αs线性相关的充分必要条件是以α1，α2，…，αs为系数列向量的齐次线性方程组
α1x1+α2x2+…+αsxs=0，
即
有非零解，且每一个非零解(x1，x2，…，xs)即是
k1α1+k2α2+…+ksαs=0
的线性组合系数(k1，k2，…，ks)．
定理2′ (定理2的逆否命题) 向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是以α1，α2，…，αs为系数列向量的齐次线性方程组
α1x1+α2x2+…+αsxs=0
只有零解．
定理3 若向量组α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法惟一．
定理3′ β可由α1，α2，…，αs线性表示，则向量组α1，α2，…，αs，β线性相关(定理1)，若表出法惟一，则α1，α2，…，αs线性无关．
定理4 若向量组β1，β2，…，βt可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，且t＞s，则β1，β2，…，βt线性相关．
定理4′ 若向量组β1，β2，…，βt可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，且β1，β2，…，βt线性无关，则t≤s．
线性相关性的一些重要结论
(1)单个向量α≠0，线性无关；α=0，线性相关．
(2)几何空间中两个向量α1，α2线性相关(无关)
或α2=lα1(不能线性表示)
共线(不共线)．
三个向量α1，α2，α3线性相关(无关)
或α2=k2α1+l2α3或α3=k3α1+l3α2(均不能线性表示)
共面(不共面)．
(3)α1，α2，…，αs线性相关，则增加向量αs+1，即α1，α2，…，αs，αs+1线性相关(反之不成立)．α1，α2，…，αs线性无关，则减少向量α1，α2，…，αs－1线性无关(反之不成立)．
(4)向量组｛αi |αi=(ai1，ai2，…，ain)，i=1，2，…，s｝线性相关，则其减少维数的缩短组｛βi|βi=(ai1，ai2，…，ai，n－1)，i=1，2，…，s｝线性相关(反之不成立)．向量组｛αi|αi=(ai1，ai2，…，ain)，i=1，2，…，s｝线性无关，则其增加维数的延伸组｛βi|βi=(ai1，aj2，…，ain，ai．n+1)，i=1，2，…，s｝线性无关(反之不成立)．
(5)n个n维向量α1，α2，…，αn线性相关(无关)
有非零解(只有零解)
不可逆(A可逆)．
(6)n+1个n维向量必线性相关
(7)Am×n(m＜n)，A的列向量组线性相关．
(8)n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关，则任意一个n维向量均可由α1，α2，…，αn线性表示，且表示法惟一．