初等变换与初等矩阵

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第282页（2408字）

初等变换 下面三种变换

(1)以非零常数k乘矩阵的某一行；

(2)将矩阵的某两行对换位置；

(3)将矩阵的某一行乘以常数c并加到另一行．称为矩阵的初等行变换．分别称为(1)倍乘变换；(2)对换变换；(3)倍加变换．

同样也可对矩阵的列做上述三种变换，称为矩阵的初等列变换．

矩阵的初等行、列变换统称为初等变换．

初等矩阵 将单位矩阵做一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．

(1)单位矩阵的第i行(第i列)乘k倍得到的初等矩阵记作E_i(k)，称为初等倍乘矩阵，即

(2)单位矩阵的第i行和第j行(也是i列与j列)互换得到的矩阵记为E_ij，称为对换初等矩阵，即

(3)单位矩阵的第i行的c倍加到第j行(也是第j列的c倍加到第i列)得到的矩阵记为E_ij(c)，称为倍加初等矩阵，即

初等矩阵都是可逆矩阵，且

初等矩阵的作用

(1)矩阵A_m×n的左边乘一个m阶初等矩阵相当于对A施行一次相应的初等行变换．

(2)矩阵A_m×n的右边乘一个n阶的初等矩阵相当于对A施行一次相应的初等列变换．

(3)可逆矩阵经过若干次初等行变换后必可化为单位矩阵，即．

(4)n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可表示成一系列初等矩阵的乘积，即

A=P₁P₂…P_N 其中P_i(i=1，2，…，N)是初等矩阵．

(5)A是m×n阶非零阵(假设第1列非零)，则经过有限次的初等行变换化成如下的阶梯形矩阵：

即存在初等矩阵P₁，P₂，…，P_N．使得

P_N…P₂P₁A=U．

r阶子式 设A是m×n矩阵，在A中任取r行，任取r列，它们的交点元素按原来的位置次序组成的r阶行列式称为A的一个r阶子式．

矩阵的秩 矩阵A的不等于零的子式的最高阶数称为A的秩，记作r(A)．

初等变换与秩的关系

(1)初等变换不改变行列式的非零性．

(2)初等变换不改变矩阵的秩，即r(A_m×n)=r(P₁A)=r(AQ₁)=r(P₁AQ₁)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)，其中P₁为m阶初等矩阵，Q₁为n阶初等矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵．

阶梯形矩阵的秩 阶梯形矩阵的秩等于阶梯的个数．

求秩的方法

(1)用定义

由小到大，逐个检查各阶子式是否为0，若A的全体元素为零，则r(A)=0．若有非零元素，则r(A)≥1．检查全体二阶子式，若存在一个二阶子式不等于0，则r(A)≥2．若全体二阶子式全为0，则r(A)=1，…．若存在一个r阶子式不等于零，所有r+1子式全为零，则r(A)=r．

(2)用初等变换

利用初等变换(行、列变换均可，行、列混合变换也行)化成阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中台阶的个数即是矩阵的秩．

等价矩阵 若矩阵A经过初等变换化成为B(即若存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B)，则称A等价于B(或A相抵于B)，记作．

矩阵等价的性质

(1)反身性：．

(2)对称性：若，则．

(3)传递性：若，，则．

等价标准形

若A是m×n矩阵，r(A)=r，则

其中E_r为r阶单位矩阵，即存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使得

右端矩阵U称为A的等价标准形(与A等价的最简矩阵)．

矩阵等价的充要条件

同型矩阵A，B等价，即．