线性空间

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第344页（1379字）

线性空间 设F是一个数域，S是一个非空集合，在S中定义称为加法运算：对S中任意两个元素α与β，都按某一法则对应于S中惟一确定的元素，记为α+β，且满足规律

(1)α+β=β+α；

(2)(α+β)+r=α+(β+r)；

(3)S中存在一个零元素记为0，即0∈S，使对一切α∈S，有

α+0=0+α=α，

(4)对任一个元素α∈S，都存在β∈S，使得

α+β=β+α=0，

β称为元素α的负元素．

同时，在S中定义称为数乘的运算，即对数域F中的任意数k，S中的任意元素α，按某一法则对应S中惟一确定的一个元素，记为kα，且满足规律：

(5)对数域F中的数1，有

1·α=α；

(6)对任意的k，l∈F，α∈S，有

(kl)α=k(lα)=l(kα)；

(7)对任意的k，l∈F，α∈S，有

(k+l)α=kα+lα；

(8)对任意的k∈F，α，β∈S，有

k(α+β)=kα+kβ．

则集合S称为数域F上的线性空间．

线性空间的基本关系

(1)S中的零元素是惟一的；

(2)S中任意元素α的负元素是惟一的；

(3)0·α=0，(－1)α=－α，k·0=0；

(4)若kα=0，则k=0或α=0；

(5)对S中任意两个元素α，β，方程

α+ξ=β

有惟一解，ξ=β+(－α)=β－α；

(6)S中α的负元素为－α=(－1)α．

线性空间中元素的线性相关性 向量空间是线性空间的特例，线性空间中元素的线性相关性、等价、极大无关组、秩、基、坐标、维数、基变换、坐标变换等概念与向量空间一致，线性空间中的元素，也可称为向量．

线性空间的维数 若线性空间S中有n个线性无关的元素，而任何n+1个元素均线性相关时，则称S是n维(有限维)线性空间，若对任意的正整数n，S中总能找到n个线性无关元素，则称S是无限维线性空间．