特征值、特征向量及其性质

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第325页（1131字）

方阵的特征值、特征向量 设A是数域P上的n阶矩阵，如果对于数域P中的一个数λ，存在非零列向量ξ，使得

Aξ=λξ，

则称λ是A的特征值，ξ是A的属于特征值λ的特征向量．

特征矩阵、特征多项式、特征方程 设A是n阶矩阵，λ是数，则矩阵λE－A称为A的特征矩阵，它的行列式

是一个λ的n次的多项式，称为A的特征多项式，方程|λE－A|=0，称为A的特征方程．

特征值、特征向量的性质

(1)A是n阶矩阵，λ是A的特征值，ξ是A的属于λ的特征向量的充分必要条件是λ为A的特征方程|λE－A|=0的根，ξ是齐次方程组(λE－A)x=0的非零解．

(2)若ξ₁，ξ₂是A的属于λ的特征向量，则k₁ξ₁+k₂ξ₂(其中k₁，k₂是任意常数，但k₁ξ₁+k₂ξ₂≠0)也是A的属于λ的特征向量．

(3)设n阶矩阵A=(a_ij)n×n有n个特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n．则

其中是A的主对角元之和，称为A的迹，记作tr(A)．

(4)设A=(a_ij)_n×n，若

则A的所有特征值λ_k(k=1，2，…，n)的模(λ_k是实数时是绝对值)|λ_k|＜1．

(5)设λ是A的特征值，ξ是A的属于λ的特征向量，则

①kλ是kA的特征值(k是任意常数)；

②λ^m是A^m的特征值(m是正整数)；

③f(λ)是f(A)的特征值，其中f(x)是多项式；

④若A可逆，则λ^－1是A^－1的特征值；

⑤若A可逆，则是A*的特征值．

(6)λ₁，λ₂是A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ₁，ξ₂，则ξ₁+ξ₂不是A的特征向量．