离散型随机变量的概率分布

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第377页（2826字）

分布律 P｛X=x_k｝=p_k，k=1，2，…

求X的分布律要特别注意两点：

(1)首先确定X的取值，通常是根据X的实际情况确定X的取值范围．

(2)求出X取各个值时的概率．X取某个值总是对应着某个随机事件，这个随机事件的概率就是随机变量取对应值的概率．

几个重要的离散型随机变量的概率分布

1．(0－1)分布

2．二项分布

(1)伯努利试验：设试验重复进行n次，若各次出现什么结果互不影响，则称这n次试验相互独立．若将试验E独立地重复进行n次，如果每次试验都只有两个结果A或，则称这个试验为n重伯努利试验．伯努利试验是一个很重要的数学模型．

(2)二项分布：在n重伯努利试验中，若P(A)=p，．记X为n次试验中事件A发生的次数，显然X是一个随机变量，它的取值为0，1，2，…，n，它的分布律为，k=0，1，2，…，n，

称X服从参数为n，p的二项分布，记为X～B(n，p)．

二项分布是一种非常重要的分布，在实践中大量存在，有着广泛的应用，特别是在产品的抽样检查中用得最多．

(3)二项分布与(0－1)分布有着密切关系：

其一，在二项分布中，若n=1，二项分布就变成(0－1)分布；

其二，在n次伯努利试验中，若只考虑某一次试验，比如第i次试验，可定义随机变量Xi如下：

Xi服从(0－1)分布．对前面的X，显然有．而X服从二项分布．所以说：n个服从(0－1)分布的且相互独立的随机变量Xi的和服从二项分布．

(4)二项分布分布律中概率的最大值问题：X～B(n，p)．

①取k0=［(n+1)p］，P｛X=k₀｝为分布律中的最大值；［·］为取整记号．

②若(n+1)p=k₀为整数，则P｛X=k₀｝=P｛X=k₀－1｝同为分布律中的最大值．

3．泊松分布

(1)定义：对于常数λ＞0，如果随机变量X的分布律为

则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～P(λ)．

(2)泊松定理：设有X～B(n，p_n)和常数λ＞0，如果np_n=λ，则

泊松定理说明，当n→+∞时，二项分布的极限分布为泊松分布．这从理论上说明了泊松分布的来源．另一方面也表明，当n很大很大时，二项分布可以用泊松分布近似代替．

实践中，对X～B(n，p)的情况，当n≥50，np≤10时，记λ=np．则有

(3)泊松分布分布律中概率的最大值问题

①取k₀=［λ］，P｛X=k₀｝是分布律中的最大值；

②若λ为整数，P｛X=λ｝=P｛X=λ－1｝同为最大值．

4．超几何分布

模型实例：设有产品l件，其中正品N件，次品M件(l=M+N)，从中随机地抽取n件，n≤min(N，M)，记X为其中的正品件数，求X的分布律．

X取值为0，1，2，…，n．

(1)有放回抽取：记，，看成n重伯努利试验．，

X～B(n，p)，即参数为n，p的二项分布．

(2)不放回抽取：按古典概型处理

称X服从超几何分布．

当产品总数无限增多时，正品数、次品数都无限增多时，并记，，则有

说明超几何分布的极限分布为二项分布．

当产品总数很大时，或说n相对于l，M，N很小时，有

5．负二项分布(帕斯卡(Pascal)分布)

模型实例：在伯努利试验中，A表示“成功”，表示“失败”．P(A)=p，1－p．引入随机变量X，它表示第r次成功出现在第X次试验．显然X取值为r，r+1，…．求X的分布律P｛X=k｝，k=r，r+1，…．

这个问题可以这样描述：第r次成功正好出现在第k次试验．前k－1次试验中正好有r－1次成功．若记Y为前k－1次试验中成功的次数，显然Y～B(k－1，p)，即．第k次正好是成功，概率为p．所以P｛X=k｝=P｛Y=r－1｝·p，即

称X服从负二项分布．

6．几何分布

在负二项分布中，若r=1，分布律就成为

P｛X=k｝=p(1－p)^k－1，k=1，2，…．

这时称X服从几何分布．

几何分布是负二项分布的特例．它描述了“首次(第一次)成功出现在第k次试验”的数学模型．