不等式的一般性质

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第55页（1633字）

1．对称性：a>bb

2．传递性：，这两条性质是不等式证明的缩放思想的依据．

3．加法法则：a>ba+c>b+c(c为整式)，

4．乘法法则：a>b，c>0ac>bc，a>b，c<0ac

5．倒数法则：．

6．乘方法则：a>b>0aⁿ>bⁿ(n∈N且n>1)．

7．开方法则：(n∈N且n>1)．

例1 若a

A．不等式和均不能成立

B．不等式和均不能成立

C．不等式和 均不能成立

D．不等式和 均不能成立

解 ∵b<0，∴—b>0，∴a—b>a，

又∵a—b<0，a<0，

∴，故不成立．

∵a|b|>0，

∴，故不成立．

由此可选B．

另外，A中成立．

C与D中成立，其证明如下：

例2 已知三个不等式：①ab>0，② ，③bc>ad，以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成( )个正确命题．

解 对命题②作等价变形：

，

于是，由ab>0，bc>ad可得②成立，即①③②；

若ab>0，，则bc>ad，故①②③；

若bc>ad，，则ab>0，∴②③①；

∴可组成3个正确命题．

例3 设f(x)=ax²+bx，且1≤f(—1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(—2)的取值范围．

分析 本题考生容易错解如下：

错误的原因是三次用到了同向不等式相加的性质，导致f(—2)的取值范围的扩大．

解 设f(—2)=mf(—1)+nf(1)(m，n为待定系数)，

则4a—2b=m(a—b)+n(a+b)，即

4a—2b=(m+n)a—(m—n)b，

∴f(—2)=3f(—1)+f(1)．

∵1≤f(—1)≤2，

∴2≤f(1)≤4，

∴5≤3f(—1)+f(1)≤10，故5≤f(—2)≤10．

以上解题过程简化如下：