正多面体的种类
出处:按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第100页(1491字)
正多面体只能有5种,用正三角形做面的正四面体、正八面体、正二十面体,用正方形做面的正六面体,用正五边形做面的正十二面体.
例1 如下图所示,三棱锥P—ABC中,PA=PC,∠APC=∠ACB=90°,∠BAC= 30°,且平面PAC⊥平面ABC
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.
(2)求二面角P—AB—C的正弦值.
(3)若PA=2,求三棱锥P—ABC的体积.
解 (1)证明 ∵平面PAC⊥平面ABC,面PAC∩面ABC=AC,又BC⊥AC,
∴BC⊥平面APC,
又∵,∴平面PAC⊥平面PBC.
(2)过P作PD⊥AC于D,则PD⊥平面ABC,过D作DE⊥AB于E,连结PE.
∵面PAC⊥面ABC,∴PD⊥面ABC.
由三垂线定理知:∴PE⊥AB.
∴∠PED为二面角P—AB—C的平面角.
设PA=PC=a,∵∠APC=90°,
例2 已知正四棱锥P—ABCD的底面边长和各侧棱长都是13,M、N分别是PA、BD上的点,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
(1)求证:MN∥平面PBC.
(2)求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值.
解 (1)证明 如图所示,连AN并延长交BC于E,连结PE.
∵AD∥BC,
∴△AND~△BNE,
∴EN∶AN=BN∶ND.
又BN∶ND=PM∶MA,
∴EN∶AN=PM∶MA,
∴MN∥PE,又.
∴MN∥平面PBC.
(2)由(1)知MN∥PE,
∴PE与平面ABCD所成的角即MN与平面AC所成的角.
设底面中心为O,连结PO,则PO⊥面AC,连结OE,则∠PEO为PE与底面AC所成角.
又在△PBE中,由余弦定理得: