圆法

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第252页（910字）

解析数论的重要方法。

从1920年开始，英国着名数学家哈代与李特伍德系统地开创与发展了堆垒素数论中的一个崭新的分析方法，人们称这个方法为哈代——李特伍德圆法。1937年苏联数学家维诺格拉陀夫利用“圆法”和他自己创造的“三角和方法”首先证明了关于奇数的哥德巴赫猜想，这就是着名的三素数定理。

对于哥德巴赫猜想，“圆法”的思想是这样的：设m为整数，由于积分

其中e(x)=e^2πix，所以方程N=p₁+p₂，(p₁，p₂均为≥3的素数)的解数；方程N=p₁+p₂+p₃(素数p₁，p₂，p₃均≥3)的解数，其中。这样，哥德巴赫的第一个猜想就是要证明：对于偶数N≥6，有D(N)＞O；第二个猜想就是要证明：对于奇数N≥9，有T(N)＞0。因此，哥德巴赫猜想就被归结为讨论关系式D(N)及T(N)中的积分。这就需要研究由S(α，N)所确定的以素数为变数的三角和，他们猜测这样的三角和有如下的性质：当α和分母“较小”的既约分数“较近”时，S(α，N)就取“较大”的值；而当α与分母“较大”的既约分数“接近”时，S(α，N)就取“较小”的值，进而可以认为，关系式D(N)及T(N)中积分的主要部分是在以分母“较小”的既约分数为中心的一些“小区间”(即那些与它距离“较近”的点组成的区间)上，而在其余部分上的积分可以作为次要部分加以忽略。

这就是圆法的主要思想。为了实现这一方法，首先就要将积分区间分为上述两部分，其次把主要部分上的积分计算出来，最后再证明在次要部分上的积分相对于前者是可以忽略不计的。

上述方法之所以称为“圆法”，是因为当0≤α≥1时，有0≤2πα≤≤π，而e(α)=e^2πiα可以看作是长度为1，辐角为2πα的单位圆周上的点，在区间〔0，1〕的两个端点0，1，都对应于圆周上的同一个点，去掉右端点，使它们之间建立了一一对应关系，这样，对长度为1的直线段上的分割就对应在单位圆周上的分割。这就是把这种方法称为“圆法”的原因。