超松弛迭代法

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第268页（657字）

给定线性代数方程组

若a_ii≠0(i=1，2，…n)，则解方程组(1)的超松弛选代程序为：

i=1，2，…n，k=0，1，…

其中为任意初值。

将A分解为A=D－L－U，其中L，U分别为A的下、上三角部分(不包括对角元素)，D为A的主对角元素所构成的对角矩阵，则(2)可写成下列形式：

X^k+1=X^(k)+ωD^－1(b+LX^(k+1)－DX^(k)+UX^(k)，

或 X(k+1)=SωX(k)+fω，

其中S_ω=(D－ωL)^－1((1－ω)D+ωU)

f_ω=ω(D－ωL)^－1b

设S_ω的特征值为λ_i(S_w)，记，当A是实对称正定矩阵时，超松弛迭代程序总是收敛的指X^(k)趋向于方程组的解X^(*)。而对任意矩阵A，当且仅当ρ(S_w)<1时，迭代程序才是收敛的，且ρ(S_w)越小收敛的越快。因此ω的选取最好能使得ρ(S_ω)取最小值，这个最小值所对应的ω称为最佳松弛因子，把它记为ωopt。

若A是对称正定矩阵且具有相容次序，则