解析方法

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第279页（892字）

数论的重要方法。

主要是以函数论为工具来研究数论问题。解析方法主要包括：黎曼希函数与狄里赫利L函数的理论、复变积分法以及指数和即三角和的方法等。

欧拉最先将解析方法用来研究数论问题，因此他是解析数论的创始人，他在研究素数分布问题时，利用算术基本定理证明了一个着名的恒等式：对实数s＞1，有

其中表示展布在全体素数上的乘积、这一恒等式称为欧拉恒等式，这在实质上是算术基本定理的一个解析等价形式，深刻地揭示了素数的性质与函数的性质之间的一种极为密切的本质联系，从而使得素数分布问题借助于解析方法获得了一系列深刻的结果。

1859年，黎曼系统地研究了复变数S的ξ函数，，这就是着名的黎曼ξ函数。

ξ(S)除了在S=一2，4，…处有一次零点外，就无其它零点了，这些零点称为ξ(S)的“无聊零点”。ξ(S)可能有的其它零点，即非无聊零点都位于带状区域0≤σ≤1之中，并且都是复数，黎曼猜测所有这些零点都位于直线上，这就是至今未曾解决的着名的黎曼猜测、黎曼还进一步深刻地指出了素数分布与ξ(S)的性质，特别是与ξ(S)的零点分布有密切的关系，哈特玛正是沿着黎曼所指出的方向，利用深刻的整函数理论在首先证明了ξ(Hit)≠0，(－∞

ξ函数与L函数的零点及其密度的研究在解析方法中占有最重要的地位，它在数论的许多着名问题中都有重要的应用。对于L函数，人们同样也猜测它的所有非无聊零点也都位于上，这就是所谓的广义黎曼猜想，它与黎曼猜想一样至今还没有被证明或被否定，从黎曼猜想及广义黎曼猜想可以推出一系列重要的解析数论的结果，虽然这都是一些假设性的结果，但都指出了研究ξ函数与L函数零点的重要意义及研究方向。例如，列尼克由于在L函数零点密度估计问题上作出了重要进展，所以，他首先得到了三素数定理的一个新的分析证明。