不动点定理

出处：按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第103页（517字）

对应于一个定义于集合到其自身上的映射而言，所谓不动点，是指经过该映射保持"不变的"点。

不动点定理是用于判断一个函数是否存在不动点的定理。常用的不动点定理有：

(1)布劳威尔不动点定理(1910年)：若AR^N(N维实数集合)且A为非空、紧凸集，f：A→A是一个从A到A的连续函数，则该函数f(·)有一个不动点，即存在x∈A，x=f(x)。

该定理常被用于证明竞争性均衡的存在性。

(2)角谷(kakutani)不动点定理(1941年)：若AR^N且A为非空、紧凸集，f∶A→A是从A到A的一个上半连续对应，且f(x)A对于任意x∈A是一个非空的凸集，则f(·)存在一个不动点。

不动点定理一般只给出解的存在性判断，至于如何求解，则需要用到20世纪60年代末斯卡夫(H．E．Scarf)提出的不动点算法。因此，不动点定理常被用于解决经济模型中出现的存在性问题，例如多人非合作对策中均衡点的存在性等。