影子价格

出处：按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第220页（1359字）

从资源(生产要素)变化引起的产值变化推算出资源对产值的边际贡献。

标准的线性规划问题可写成：

它的对偶问题是

用x^*和y^*分别记原问题和对偶问题的最优解，则作为线性规划的对偶定理的一部分，可以证明如下结果：

定理。当原问题和对偶问题都存在可行解(即满足约束条件的解)时，则两问题的最优解必存在，且两最优目标函数值相等，即：

在原问题中，如把p_j看成第j种产品的价格，x_j看成第j种产品的产量，a_ij表示为了生产一单位第j种产品所必须的第i种资源的投入量，b_i看成第i种资源的最大可能供应量，则原问题就可解释为在资源约束下最大化产值的问题。

为了解释对偶问题中最优解y^*的经济意义，注意x^*和y^*分别为两问题的可行解，从而有

分别用y_i^*和x_j^*乘(1)和(2)的两边，再加总得

这个等式称为互补松弛条件。对此条件可分以下两种情形讨论：

(1)如对某个i有a_ijx_j^*＜b_i。

这时由互补松弛条件推出y_i^*=0。这意味着当第i种资源有多余时，这种资源的归属价格(又称影子价格，机会成本)y_i^*=0。在经济学中称这种资源为自由物品。

(2)如对某个h有Σa_hjx_j^*=b_h，则由互补松弛条件推得y≧0。

现把第h种资源的约束从b_h变为b_h+△b_h，△b_h为充分小量，则原问题的解从x^*变为x^*+△x^*，从而最优值为Σp_j(x_j^*+△x)，相应地对偶问题的解从y^*变为y^*+△y^*，最优值为(b_i+△b_i)(y^*+△y^*)。由定理知：

p_i(x+△x_j^*)=(b_i+△b_i)(y_j^*+△y_i^*)

注意p_jx_j^*=b_iy_i^*并略去高阶项得#p_j△x_j^*=△b_iy_i^*。如果仅令第h种资源约束变化一单位，即△b_h=1，△b_i=0(i≠h)，则得y#=Σp_j△x_j^*。这个等式的右边正好是第h种资源变化一单位时最优值的变化量，从而对偶变量y就是当第h种资源约束b_h变化一单位时最优总产值的变化量，称它为第h种资源的影子价格。

如果资源i的影子价格y_i^*=0，则增加一单位资源不能引起最优总产值的增加；如果资源h的影子价格y＞0，则增加一单位资源所引起的最优总产值增量为y。当资源h的市场价格q_h＞y时，厂商应该出售这种资源；当q_h＜y时，厂商应该购进这种资源。

因此，对偶变量y虽然不是资源h的市场价格，但它可看成一种参考价格，这就是影子价格这一名称的由来。