萨德定理

出处：按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第244页（662字）

表明在数理经济学的一些论证中，零概率或“小”概率的“例外”情形确实可以忽略不计。

曲线和曲面的一般化称为流形(manifolds)。曲线或曲面可看作一个个小线段或一个个小圆片拼贴而成；m维流形就可由一个个m维球拼贴而成。如果拼贴得很好，很光滑，就得到光滑的m维流形。例如，球面S²是光滑的二维流形；实心球B³是有边的光滑的三维流形，它的边界正好是S²。

流形之间的对应，称为映射。把流形都放到较高维的欧氏空间，流形之间的映射就可以用坐标关系式函数表示出来。

如果这些函数都具有连续的各阶偏导数，就说映射是光滑的。

萨德定理断言，如果F：M→N是从带边光滑流形M到无边光滑流形N的光滑映射，那么几乎N的每一点都是F的正则值。正则性是映射局部性状好的一种刻画，在正则值附近，映射F把M一层一层“不打皱折地”铺到N上。数学上，正则值的特征是：F在对应到该点的每一点处的雅可比矩阵的秩都等于流形N的维数。N的几乎每一点都是F的正则值，指的是在N中，F的正则值从测度(“体积”)上说充满了N，不是正则值的点合在一起，测度也只等于0。

数学有从最坏情况考虑问题的传统，所以在对付虽极罕见的“坏”情况时显得无力。

萨德定理指明了只讨论满概率或大概率的“好”情况的合理性。在数理经济学中，萨德定理使一般经济均衡理论和均衡价格的连续算法的有效性得以确立。