包络定理

出处：按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第243页（822字）

最早在1931年由瓦伊纳(J．Viner)和王(Y．K．Wong)在讨论短期和长期平均成本曲线之关系时提出的，他们认为：长期平均成本曲线不仅总低于短期成本曲线，且通过每一条短期成本曲线的最小点。

后来在1947年萨缪尔森(Samuelson)用一般方法证明，长期成本曲线就是短期成本曲线族的包络。考虑一个含单参数a的函数f(x，a)的无条件极值问题minf(x，a)。

对每一个a，上问题的解记为x(a)，设最小值f(x(a)，a)=M(a)，则随着a的变化M(a)也变动。对M(a)关于a求导数得：

因为对每一个a，最优解是x(a)。

由函数f(x，a)在x取最小值的必要条件知=0，从而上式变为：

即最小值M(a)关于参数a的变化率就等于函数f(x，a)关于a的变化率而与x无关。M(a)为曲线族y=f(x，a)的包络，故称上等式为包络定理。

对含参数a的带约束条件极值问题：

minf(x₁，…，x_n，a)

s．t．g(x₁，…，x_n，a)=0

令拉格朗日函数L=f(x₁，…，x_n，a)－λg(x₁，…，x_n，a)，对每一个a，上问题的解为x₁(a)，…，x_n(a)，记f(x₁(a)，…，x_n(a)，a)=M(a)。类似于上面的做法得：

这也称包络定理。