凸性

出处：按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第243页（739字）

n维空间Rⁿ(在经济学中它经常是商品空间、价格空间等等)的集合A称为有凸性，或者说是凸集，是指A中的任意两点的连接线段还在A中。

例如，平面上的三角形和圆都是凸集，但五角星不是凸集。经济学中经常合理假定一些集合有凸性。例如，假定生产集(所有可能的投入及其产出所构成的集合)有凸性，就意味着假定：两种可行的生产活动的各种平均组合还是一种可行的生产活动；消费集(所有可能的商品消费所构成的集合)有凸性意味着：两种可能的消费活动的各种平均组合还是一种可能的消费活动，如此等等。

在一般经济均衡理论中，凸性假定甚至起关键作用。

利用函数的上(下)图(函数图像上(下)方所有的点构成的集合)和上(下)水平集(函数值超过(低于)某一水平时的自变量点的集合)，还能提出函数的凸性。如果函数的上(下)图是凸集，则它称为拟凹(凸)函数。

经济学中的生产函数和效用函数常被假设为是拟凹函数，因为它们意味着产出(效用)超过某一水平时的投入需求(消费)集是凸集。

凸集理论中最重要的结果是凸集分离定理。

它断言：两个不相交的凸集一定可以用空间中的超平面(三维空间中的平面在n维空间中的推广)来隔开。由于一个点也是凸集，由此可见，任何凸集都可与不属于它的点用超平面分离，从而它无非就是由许多超平面围成的集合。

在经济学中，由此可导出不少有意义的结论。例如，当投入需求集是凸集时，包围它的超平面实际上就是在某一价格体系下的成本相等的点的全体。

因此，如果我们能够计算出在各种价格情况下的成本，则它们所确定的超平面全体就可用来确定其围成的投入需求凸集，以至其对应的生产函数。