罗默的知识外溢增长模式
出处：按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第428页（5321字）
罗默是新增长理论的主要创始人之一，在其博士论文《动态竞争性分析中的外在性和收益递增》(1983)和《收益递增与长期增长》(1986)中，继承了斯密、马歇尔和艾林·杨等人的递增收益思想，运用并扩展阿罗和宇泽弘文等人的动态分析框架，结构外在性、产出生产中的收益递增和新知识生产中的收益递减等三个因素，提出了一个具有内生技术变化的竞争性均衡长期增长模式，其中长期增长主要是由富于远见的、利润最大化的经济主体的知识积累的努力驱动的。
在罗默模式中，生产性投入的专业化知识(知识视为一种基本形式的资本，即知识资本knowledge capital)的积累是长期增长的决定性因素，它不但自身具有递增的边际生产力，而且能使资本和劳动等其他要素也产生递增收益，进而使整个经济的规模收益递增，收益递增保证了长期增长。从而在罗默模式中，人均产出可以无限增长，随时间变化而递增；投资率和资本收益率可能随资本存量的递增而递增；跨国间的人均产出水平不再趋同。
而且，所有这些结论不必依赖于任何特定的外生技术进步、跨国差异或人口的增长，惟一重要的是放弃通常的递减收益假定，赋予生产性投入要素知识以递增的边际生产力。
一、罗默模式的假定
1．追循阿罗的思路，假定边干边学普遍存在于各个厂商的投资之中，即一个厂商的资本存量的增加会导致其知识存量的相应增加。这反映了阿罗关于知识及其生产力收益源于投资和生产的基本思想。
2．假定知识具有外溢效应，每一厂商的知识是公共品，其他厂商可以毫无代价地得到它。换句话说，知识一旦被发现，它就会迅速在整个经济中外溢。这个假定暗含，每一厂商的技术变化与整个经济中的边干边学，进而整体资本存量的变化成比例。
罗默指出，这个外在性的存在是竞争性均衡存在的基础。
3．假定新知识自身生产具有递减的规模收益，即给定一定时点上的知识存量，研究投入的倍增不会取得倍增的新知识。这一假定是为了确保消费和效用不致增长得过快。
4．假定作为生产投入的知识具有递增的边际生产力。
这是罗默模式最核心的假定。由于知识不能享有完全的专利和保密，一个厂商创造的新知识对其他厂商的生产具有正的外在性，使作为知识存量和其他投入函数的消费品生产具有递增收益，更精确地说，知识可以具有递增的边际产出。
5．由于新生产的私人知识只能部分地保密且不能专利化，罗默就用一个二阶连续可微的生产函数F来代表厂商i的技术：函数F是厂商专业化投入ki(知识存量)、所有其他投入要素Xi(如物质资本、劳动等)以及经济中的总知识水平k的函数。假定只有知识存量可以扩大，而由X向量代表的要素供给是固定的，这暗示物质资本、劳动或人口规模均保持不变。
若N为厂商数目，则总体知识水平K=∑
ki。
6．假定生产函数F(ki，K，Xi)对于任何固定的K值而言，F是关于ki和Xi的一次齐次(homogenous of degree one)的凹(concave)函数。
根据F关于ki和Xi的齐次性以及F关于总知识存量K的递增假定，就可推得F具有递增的规模收益。对任何λ＞1有：
F(λki，λK，λXi)＞F(λki，K，λXi)=λF(ki，K，Xi)，
即是说，生产函数从社会观点看具有整体(global)知识的递增边际生产力，即对于任何固定X，假定F(ki，NK，Xi)是关于k的凸(convex)函数而不是凹函数。
这进一步强化了F收益递增的假定，这正是这个生产函数区别于阿罗、利维哈里(Levhari，D．)和谢辛斯基等模式中的生产函数之处。
7．假定追加的知识可以由放弃(forgoing)的现期消费生产出来，但这种权衡替代(tradeoff)不是1∶1(one-for-one)的关系，知识自身的增长是收益递增的，在研究中投入Ⅰ量的被放弃消费，具有现期私人知识存量k的厂商会生产一个知识资本的增长率k=G(I，k)。
假定G是一次齐次的凹函数，则积累方程可表示为：k／k=g(I／k)[其中g(I／k)=G(I／k，1)]。此外，假定g以常数α为上界，即给定私人知识存量，在研究中追加投资的边际产品Dg下降得如此迅速以致g是有界。
8．假定单个消费者的偏好采用可加可分的贴现形式：
U(c)e－ρtdt，其中ρ＞0是主观贴现率，函数U是二阶连续可微的严格凹函数，定义在正实数上，且U(0)等于一个有限值或－∞。
9．假定所有的经济主体都视价格为既定，所有的厂商都视总知识水平为既定。
二、罗默的无穷上限(infinite-horizon)增长模式
在上述既定的基础上，罗默定义了两个最大化问题：社会最优化问题和竞争性均衡(人工最优化)问题。首先令k(0)表示经济中每一厂商的初始资本存量，假定厂商数目和消费者数目相等，令X=
，f(k，K)=F(k，K，
)，F(k)=f(k，Nk)=F(k，Nk，
)(社会计划者面临的整体凸性的生产函数)，对所有t≥0，在k≥0约束和初始条件k(0)=k0下，有：
max
U(c)e－ρtdt
s．t k／k=g[(F(k)－c)／k]
以及 max
U(c)e－ρdt
s．t k／k=g[(f(k，K)－c)／k]这两个最大化问题的区别在于生产函数上，在第一个社会最优化问题中，生产函数是凸性的，且不随时间变化；在竞争性均衡最优化问题中，生产函数是凹性的，它依赖于路径K(t)，进而依赖于时间的变化。
在《收益递增与长期增长》一文中，罗默运用几何相位图(geometry of the phase plane)的方法来刻画竞争性均衡和社会最优化的特征。为了确保均衡的存在和防止知识资本的爆炸性增长，罗默对知识资本增长率强加了一个限制，即不管偏好及政府政策如何，知识资本会收敛于一个任意参数α。
由此，罗默模式就无法给出一个显性解。1991年中国学者谢丹阳博士在美国《政治经济学杂志》上发表的《递增收益与递增的增长率》一文中指出，罗默对投资技术所作的限制纯粹是出于处理技术的考虑，没有充足的经济根由，因而是完全不必要的。因此，谢丹阳认为，通过采用传统的投资技术，即令g(z)=z，就可以给出罗默模式的显性解，更明确地表示竞争性均衡与最优均衡、均衡增长率与最优增长率之间的关系。
1．技术
结合阿罗的边干边学假定，可令罗默模式中厂商Ⅰ的生产函数为：
Yi=f(ki，K) (1)
其中Yi、ki分别是有代表性厂商i产出和人均资本存量，K是经济的总资本存量。罗默认为新资本与新知识之间是以固定的比例生产的，因而K就不仅测度总资本存量，而且测度厂商可获得的总知识。又因为每一厂商相对K很小，所以它们都视K为既定。
假定经济中有N个厂商，则总资本存量K就为：
如果每一厂商扩大ki，则K就会相应增加并产生一个使所有厂商的生产率上升的外溢效应。具体地，罗默采用了一个柯布－道格拉斯生产函数，并假定所有厂商都是相同的，即有：
f(k，K)=AkαK1－α (3)
其中α体现了知识的外溢效应，0≤α≤1，因而生产函数具有递增的规模收益。
令K=Nk，由(3)式可得知识资本的社会边际产品为：
f／
k=AN1－α (4)
令K既定，可得知识资本的私人边际产品为：
f／
k=AαN1－α (5)
从(4)、(5)式可知知识资本的私人和社会边际产品是关于N和ki的递增函数，但两者大小不一，私人边际产品小于社会边际产品。
2．竞争性均衡和最优均衡
假定不变替代弹性的效用函数形式，即令U(c)=c1－α－1／1－σ，其中c是人均消费，0＜σ＜1是跨时替代弹性，那么在给定路径{K(t)}
及初值对所有t≥0，在k≥0约束和初始条件k(0)=k0下，具有无限生命的有代表性消费者的跨时效用最大化问题就可表示为：
根据汉密尔顿函数(Hamitionian)，可定义一个汉密尔顿方程H：
H=maxU(c)+λ[f(k，K)－c] (7)
由汉密尔顿方程的一阶条件，并对任何强加均衡条件K=Nk可得：
c－σ=λ (8)
λ=λρ－λAαN1－α (9)
k=AKN1－α－c (10)
TVC(Transversality Condition)∶
lim #－ρt=0 (11)
则(8)、(9)、(10)、(11)式以及初始条件k(0)=k0就描述了竞争性均衡k(t)的路径。
最优均衡与竞争性均衡的差别是后者视K(t)既定，因而对最优均衡而言，(9)式可重写为：
λ=λρ－λAN1－α (12)
则(8)、(9)、(10)、(12)式以及初始条件k(0)=k0就描述了最优均衡k(t)的路径。
3．均衡增长和最优增长
由(8)、(9)式可得均衡增长率g为：
g=c／c=(AαN1－α－ρ)／σ (13)
由(8)和(12)式可得最优增长率为：
g*=c／c=(AN1－α－ρ)／σ (14)
由(13)式可知，均衡增长既与外生技术进步没有关系，也与人口或劳动力的自然增长率毫无关系，因此罗默模式是一个完全内生化的技术进步增长模式。
在这个模式中，确保增长率为正但不会使效用趋于无限的条件是：
AαN1－α＞ρ＞1－σ／σ(AαN1－α－ρ) (15)这个条件的第一部分暗示经济增长率g＞0，第二部分保证取得的效用是有限的，并使TVC成立。
由上述均衡动态分析可知，人均产出可以无限增长，增长率随时间变化可能单调递增，并主要受下列因素的影响。
第一，它受经济的总知识存量的影响。由于总量知识具有正的外溢效应，则一个社会总知识存量越多，则经济增长率就越大。第二，它受厂商知识投资决策的影响。如果厂商更多地投资于专业化知识，则不仅能增大自身知识存量，而且使总知识存量增加，并进而产生使整个产业生产率提高的外溢效应，而这又会提高增长率。
第三，它受储蓄率的影响。