公理理论的完备性

出处：按学科分类—哲学、宗教 广东人民出版社《哲学辞典》第69页（432字）

是对根据公理构成的理论提出的逻辑方法论的要求，这一要求是：在某一公理形式的体系中，该理论的一切真命题应当是得到证明的(即应当是从公理推论出来的)。

由于句法上的公理理论和语义上的公理理论之间存在差别(参见公理学方法)，完备性的要求是有区分的，可以分出弱意义的句法完备性(属于某一体系的一切命题在该体系中都是可以推论出来的，或是可以被驳倒的)和强意义的句法完备性(在给公理添加了不是在这个体系中推论出来的命题后，这个体系便变成矛盾的)，关于某种模式的语义上的完备性(在某个模式中同真命题相应的每一个判断在这个体系中是可以推论出来的)，等等。对足够丰富的公理理论(例如算术)进行研究的过程，证明了(哥德尔在1931年及以后的成果)这些理论的原则上的不完备性，即证明了存在有这样一些命题，它们在这些理论范围内既不能证明也不能驳倒。完备性的要求并不是成功的公理化所绝对不可缺少的条件，因为不完备的理论有可能成功地应用于实践。