概周期线性系统

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第35页（4063字）

一个对－∞＜t＜+∞定义而且连续的函数f(t)为概周期函数，如果对任意ε＞0，存在相应的L(ε)＞0，使得在任意长度为L的区间中至少可以找到一点τ，使

‖f(t+τ)－f(t)‖＜ε (－∞＜_t＜∞)

τ称为相对于ε的一个概周期。

我们所熟悉的周期函数，拟周期函数(是指函数f(t)=F(ω₁t，ω₂t，…，ω_mt)，F(u₁，…，_um)关于u₁，…，u_m以2π为周期)都是概周期函数的特例。在自然界中严格的周期运动是比较少的，相对说来，概周期运动比较常见，另一方面运动现象常常是用微分方程描述的。因此，概周期微分方程与概周期解的研究在理论与应用上都有重要意义，而概周期线性方程则是概周期方程的基础，概周期线性方程的深入研究将引导概周期微分方程向纵深发展。

常系数线性系是直接可解的，因此常系数线性系的解的特征及渐近性质是完全清楚的419世纪初，弗珞块特(Floquet)证明连续的周期系数线性系总可以通过同周期的正则变换x=L(t)y(L(t)，L^－1皆有界)化为常系数线性系y′=By。这就是着名的Floques理论。尽管具体寻找这个正则变换是困难的，但Floquet理论在揭示周期线性系的解的结构方面和周期解的摄动理论，分支理论中都起了关键的作用，

1963年前苏联阿诺尔德(Arnold．1)在《数学进展》杂志上提出了微分方程理论中有待解决的若干个重要问题。其中的一个问题是说Floquet理论对拟周期线性系是否成立。也就是说，拟周期线性系是否可通过同频率的正则变换化为常系数线性系。

中国林振声于1977年解决了这个问题。他证明当系数满足无理性条件时拟周期线性系总可以通过同频率的正则变换化为常系数线性系。他还证明拟周期线性系总可以通过同频率的正交变换三角化。这两个重要结果是拟周期线性系统的理论基础。

由于二阶周期线性系在应用上有重要价值，近20～30年围绕二阶周期线性系解的渐近性质与特征指数的求法(或近似求法)有大量的研究工作。这些工作散见于各种数学期刊和微分方程的书籍中。至于拟周期线性系与概周期线性系，由于难度高，相应的研究成果比较少。

截至70年代中期，有关拟周期线性系与概周期线性系的主要成果都收集在芬克(A．M．Fink)的专着《概周期微分方程》与吉泽太郎(T．Yoshizawa)的专着《稳定性理论与周期解、概周期解的存在性》中。

线性微分方程系x′=A(t)x与线性算子有密切关系。T是导数有界且连续的函数空间B1到有界连续函数空间B0的线性算子，T的谱决定了线性方程的重要性质。因此，T的谱也称为线性微分方程的谱。同时不难证明：λ是x′=A(t)x的谱点，当且仅当x′=A(t)x的λ－平移系x′=(A(t)－λI)x不具有指数型二分性(若存在投影方阵P及常数K≥1，α＞0使x′=A(t)x的基本解方阵X(t)满足｜X(t)PX^－1(s)｜≤Kexp(－α(t－s))(t≥s)，Kexp(－α(s－t))(t≤s)，那么就称x′=A(t)x具有指数型二分性)。

容易证明常系数线性系具有点谱。由于周期线性系的Floquet理论，因此周期线性系也具有点谱。因此人们自然提出这样的问题：拟周期线性系与概周期线性系是否也具有点谱，1968年前苏联米里翁什科夫(Millionscikov)给出了概周期线性系具有连续谱的例子。接着前苏联学者又给出了拟周期线性系具有连续谱的例子。

这些结论一度被认为是概周期线性系理论的重要进展。然而到1988年，中国陈晓星指出了这两个结果是错误的。继而，林振声证明概周期线性系仅有点谱．从而使学术界曾一度混淆的思想得以澄清。林振声的这一结果是对概周期线性系理论的重大贡献。

近来，关于概周期线性系的另一重要进展是关于概周期线性系的分解问题。常系数线性系与周期系数线性系若有指数型二分性(且投影不满秩也不为零)，则可以分别通过常系数与周期的正则变换分解为两个维数较低的常系数线性系与周期线性系。

对概周期性系是否有类似的结果呢?波默(K．J．palmer)对这个问题给出了否定的答案。他举例说明当概周期线性系具有指数型二分性(且投影p不满秩，也不为零)时，该系统未必可通过概周期正则变换分解为两个维数较低的概周期线性系，而只能通过非概周期正则变换进行分解。

一个未解决的难题是：尽管变换不一定可取作概周期，但分解后的系统是否仍可保持为概周期。

关于概周期线性非齐次系x′=A(t)x+f(t)在临界情形(即x′=A(t)x不具有指数型二分性)下概周期解的存在性问题也是近十年来研究的热点之一。

关于这个问题的一个经典结果是由法瓦德(Favard)于1933年给出的。他证明了若x′=A(t)x的外壳中的每一个系统的有界解x(t)都满足，那么x′=A(t)x+f(t)有有界解就有概周期解。

人们试图修改这个结果，希望能将“外壳”这一条件去掉。然而1981年詹生(R．A．Johnson)证明了，若仅有x′=A(t)x的每一个非平凡有界解x(t)满足，，即使x′=A(t)x+f(t)有有界解也不能保证概周期解的存在性。

近年来虽然出现一些关于概周期非齐次线性系在临界情形下存在概周期解的文章，但都附加了很强的条件。詹生(R．A．Johnson)和塞尔(G．R．Sell)以及其他一些学者研究了二维概周期线性系的分解与极小集等问题，获得了一些较深入的结果。

例如，塞尔证明了二维概周期线性系的极小集个数只有1、2，∞三种可能。中国学者何崇佑，姜东平等研究了概周期线性系与概周期非线性系概周期解的存在性及条件。

获得了一系列好的结果。

70年代以来，国外学者引入非自治系的拓扑等价与结构稳定概念。

这给概周期线性系的研究注入新的活力。以林振声为首的福州大学微分方程稳定性讨论班获得了概周期线性系的一系列结果。例如，证明了当x′=A(t)x具有指数型二分性，f(t，x)有界且有小的李卜西兹常数时概周期非线性系x′=A(t)x+f(t，x)拓扑等价于它的线性部分，且等价函数H(t，x)关于t也是概周期的。又如，证明了概周期线性x′=A(t)x在概周期扰动下结构稳定的充要条件是x′=A(t)x具有指数型二分性。

我们已知，线性系x′=A(t)x具有指数型二分性当且仅当x′=A(t)x等价于x′=diag(－1，…－1，1，…1)。一个悬而未决的问题是：若x′=A(t)x是概周期的，是否能保证等价函数H(t，x)关于t也是概周期的。

前面提出的一系列未解决的问题可能都是今后一段时间里的研究热点。除此之后，概周期解的摄动问题与分枝问题也可能是今后一段时期里的研究热点。

概周期解的摄动与分枝问题都与概周期线性系密切相关。由于概周期线性系的理论相对于周期线性系来说还是很不完善的，因此，概周期解的摄动与分枝问题要比周期解的摄动与分枝问题困难得多。

正由于此，这方面的研究工作至今还是很少的。林振声关于概周期系仅有点谱的结论为这一课题提供了有力的工具，但还需要关于概周期线性系的进一步深入研究。

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【参考文献】：

1 Favard J. Lecous sur les Fonctions presque - periodiques, Gauthiervillars paris,1933

2 Arnola I. Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics. Uspehi Math. Nauk,1963,18(6):91～192

3 Millionscikov. Differential Equations ,1968,4:391～396

4 Fink A M. Almost periodic differential equations. Springer - VerlagBerlin,1974

5 Palmer K J. Jour Math Anal Appl ,1979,69:8～16

6 PalmerKJ. JDiffEqua,1980,36;374～390

7 Johnson R A. Proc Amer Math soci,1981,82;l99～205

8 Yoshizawa T．概周期解的存在性，广西人民出版社，1985

9 Chen Xiaoxing. Annals of differential equations, 1988,4: 399～404

10 Lin Zhensheng. J Appl Math, 1989,6:491～506

(福州大学史金麟教授撰)