线性粘弹性问题

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第153页（2637字）

线性粘弹性材料的边值问题，包括线性粘弹性等温边值问题和线性热粘弹性边值问题。

线性粘弹性材料的应力－应变行为服从线性规律，可模型化为线弹性和理想粘性的组合。线性粘弹性问题的解应满足包括几何方程、平衡或运动方程、本构方程、边界条件和初始条件在内的若干组数学条件，其中除本构方程外的其他控制条件均来自线性弹性理论，只是全部变量皆附加了对时间的依赖性质而已。粘弹性边值问题的建立及其求解和材料粘弹性能的描述构成了粘弹性力学的两大基本内容。很多工程材料如聚合物、玻璃、陶瓷和混凝土等在较低的环境温度和较小的应力水平下，其应力－应变关系近似服从线性粘弹性规律。

最早的线性粘弹性力学模型是由最简单的弹簧元件和阻尼器元件组合而成的。1874年波尔兹曼(L．Botxmann)提出基于叠加原理的遗传积分表达式，建立了三维各向同性线性粘弹性材料的应力－应变关系，并把它推广到各向异性线性粘弹性材料。

1962年，高尔腾(M．E．Gurtln)导出各向同性粘弹性体在等温和准静态条件下解的唯一性定理。欧德(F．Odeh)等人先后给出各向异性线性粘弹性体在动荷下有关解的唯一性的论述。

1982年克里斯坦森(R．M．Christensen)把等温边值问题的解的唯一性定理推广到非等温的热粘弹性领域。

线性粘弹性静力学问题包括求解刚性支承上粘弹性体的变形、求解强迫位移引起的应力和上述两种边界同时存在的情况等3种类型。

对于第1类问题，可根据应力状态与材料性质无关的定理用弹性状态计算方法求得所谓准弹性解。第2类问题可归结为沃尔泰拉(Voltcrra)第二类积分方程(松驰方程)的求解。

第3类问题较复杂，需要联立求解一个沃尔泰拉积分方程组，传统的积分方程解法有影响函数法、积分变换法和有限差分法。影响函数法主要用于材料模量变化很小及初瞬时弹性应力为常量的情况。线性粘弹性边值问题的基本方程经过积分变换之后，形式上和线弹性问题的基本方程相同，称为弹性－粘弹性相应原理。利用相应原理，先求得含变换参数的相应的线弹性问题的解，然后经过反演，即可得到线性粘弹性问题的解。有限差分法是一种直接解法，它把计算时间划分成一系列时间间隔，把本构方程中的积分用各个时间间隔上的数值积分代替，从而导出求解未知量的递推公式来。对于线性粘弹性体的冲击、振动及波的传播等问题，必须考虑惯性项的影响。通常可采用傅里叶(Fourler)变换或拉普拉斯(Laplace)变换来求解上述瞬态动力粘弹性问题。

由于塑料工业的发展及迅速兴起的复合材料产业的迫切需要。

近年的主要研究工作集中在各向异性线性粘弹性本构关系、线性粘弹性问题的数值求解方法及冲击、振动和粘弹性波的传播等动力问题诸方面。

时间－温度等效原理，常用于由较窄时间范围内不同温度下的试验数据换算基准温度下长时间范围内的模量时间行为。但对于聚合物基复合材料，随着温度的改变，基体模量的变化相对于纤维模量的变化要大得多，由此引入非线性，导致主曲线失真。1990年，R．F．Gibso等把各向同性粘弹性材料的时间－频率变换方法推广到各向异性粘弹性材料，获得高精度的主曲线。

除了有限差分法之外，有限单元法和边界单元法已成为求解线性粘弹性问题的有效工具。1987年，Yadagiri等采用有限单元法求解了粘弹性联结问题；克温(Y．L．Kuen)等由变分原理导出各向异性热粘弹性边值问题的基本方程；李江等人给出广义时间拉普拉斯交换－有限元复合法；杨海天等把摄动、边界元和有限元法结合起来，提出一种求解线性蠕变问题的新方法。线性粘弹性结构的动力响应是具有重要应用价值的研究课题之一。杨挺青等利用拉普拉斯变换先求得变换空间中位移的一般解和应力表达式，然后采用数值逆变换的方法计算出实际粘弹性的位移场和应力场。

孙炳楠等采用边界单元法获得动载作用下的二维粘弹性结构在变换空间内的数值解，然后采用改进的道宾(Durbln)数值反演方法得到粘弹性数值解。N．K．Chandiramani等和C．Gabriel同样利用拉普斯普换给出正交各向异性板动力稳定问题的求解过程。曼级(Y．Mengi)等导出了粘弹性复合筒动力问题的近似理论并给出了计算实例。

聚合物及其复合材料的粘弹性研究正处在迅速发展的阶段。

工程塑料、现代陶瓷及复合材料等轻质、高强、高性能材料的工业应用将推动线性粘弹性问题实用分析方法的进一步发展。以下诸方面的研究方向将具有重要的理论和应用价值：线性粘弹性动力响应分析；静载线性粘弹性失效判据；线性粘弹性断裂力学研究；线性粘弹性疲劳问题；各向异性线性粘弹性结构的稳定问题等。

。【参考文献】：

1 杨挺青，王胜凯，黄王盈．固体力学学报，1987，8(1)∶78～86

2 Stango R J,Wang S S.Comp Sci Tech, 1989,35:273～282

3 Mengi Y, Birlik G A. J Sound and Vibration, 1989,130

4 Gibso R F,Wang S J. Sheppard C H. J Comp Materials, 1990,24:441～453

5 孙炳楠，戚支全．上海力学，1990，11(1)∶23～31

6 李江，张恒．洛阳工学院学报，1991，12(3)∶33～40

7 Kuen Y L，Hwang I H．Int J Solids Str，1991，27∶927～945

8 杨海天，邬瑞锋．计算结构力学及应用，1991，8∶249～156

(洛阳工学院张恒教授撰；尹昌言审)