多体问题

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第448页（2323字）

是牛顿万有引力作用下的质点组动力学。

一般用N(或n)表示质点数目，又称N(n)体问题，是天体力学、一般力学和应用数学的共同研究领域。牛顿本人提出并解出二体问题，得到圆锥曲线轨道的通解。

但逆问题，即用观测算出相应圆锥曲线轨道，至今还解决得不够完善。

三体问题到现在已研究300多年，尚未真正解决，为多体问题中研究得最多的课题。

三体问题 按类型又可分为一般三体问题，即三体质量任意；限制性三体问题，三体中两体质量很大，另一体质量很小，可忽略对两个大质量体的引力；另外还有一些特殊问题。

一般三体问题。

在18～19世纪中主要求它的积分和特解。它是18阶方程组，在18世纪中期已知有10个独立的经典积分。

1843年，雅可比(K．G．J．Jacobi)证明：只要能求出16个独立积分就可以解出来。可是一直到现在，一个新积分都没有找出，反而有一些否定结果，证明用代数函数或单值解析函数表示的新积分不存在。在特解方面，1772年拉格朗日(J－L．Lagrange)证明，只要初始条件恰当，三体可永远保持等边三角形或共线，这就是着名的拉格朗日等边三角形特解和共线特解，又称定型特解。1912年宋德曼(K．Sundman)证明，除极少数初始条件外，一般三体问题的解可表达为时间的收敛幂级数，从理论上肯定了解的存在性，可惜不能实用。

50年代以后，除数值解法外，大量论文是研究一般三体问题的定性特征，主要有：某些初始条件下相应的运动区域；解空间的拓朴结构；周期轨道特解的存在性和稳定性；终结轨道特性；奇点和正规化，碰撞和交换等课题。

限制性三体问题。质量很小的称无穷小体，另二体称有限体。由于二有限体只在相互引力作用下运动，是二体问题，轨道为圆锥曲线。

按不同曲线又把限制性三体问题划分为不同类型：圆型，椭圆型，双曲型和抛物型限制性三体问题。圆型和椭圆型限制性三体问题的天文背景广，如小行星、卫星、彗星、人造天体、双星附近小质点的运动等。拉格朗日定型特解仍然存在，其中等边三角形特解已找到实例。20世纪以来，已发现200多颗小行星，处于太阳和木星组成等边三角形的顶点附近，称为脱罗央(Trojan)群小行星。

现已证明，等边三角形特解一般是稳定的；共线特解附近至今未发现天体，因为轨道不稳定。现代研究圆型和椭圆型限制性三体问题的论文仍很多，主要有：运动区和稳定区，碰撞奇点的正规化，周期轨道的存在性和稳定性以及周期解族，可积性的数值探索，俘获和交换等。

特殊三体问题。近年研究较多的有：(1)双不动中心问题，即限制性三体问题中，二有限体不动，研究无穷小体在此二固定体引力下运动。

这是可积系统，解为超越函数。有人把它的解作为中间轨道用于研究人造卫星的运动。(2)西特尼科夫(Sitnikov)问题，即二有限体质量相等，作圆轨道绕联线中点运动，研究无穷小体在通过二体联线中点并垂直此联线的平面内的运动，又称为等腰三体问题。(3)毕达哥拉斯(Pythgoras)问题，即三体P₁、P₂、P₃质量之比为3∶4∶5；在初始时刻，三体静止在直角三角形顶点上，三边P₂P₃、P₃P₁、P₁P₂之比也是3∶4∶5。

70年代用数值计算探讨此三体运动轨道情况；经长时间计算绘出三体轨迹，发现三体轨迹非常复杂，无法用已知曲线逼近。最后有两体靠近，相互绕椭圆轨道运动；而另一体远离而去。

有趣的是，西欧和美国各用一组同样程序和同一类型电脑计算，结果虽然一样，但三体顺序不同，一组是P₁、P₂靠近，P₃远离；另一组是P₂、P₃靠近，P₁远离。

多体(N≥4)问题 一般多体问题。

N体质量没有限制，现代主要研究定性特征，有两种途径研究：数值模拟，用一些特殊计算方案直接解N体的运动方程，探讨恒星系统的结构稳定性，结构演变规律、聚集或分散、星系旋臂形成等，用于研究聚星、星协、星团、星系的动力演化。定性方法，直接从运动方程和已知积分讨论N体系统的特征，如运动区域、结构稳定条件等。其中一个特殊课题是把三体问题的拉格朗日定型特解推广到N体情况，称为中心构形。目前只讨论共线(又称直线N体问题)和多面体特解，共线解结果较可靠。

限制性问题。是限制性三体问题的扩充。

有限体扩充到N个，无穷小体增到K个。只考虑有限体之间有限体对无穷小体以及无穷小体之间的引力作用。研究无穷小体的运动情况，80年代后引起重视，针对小行星卫星、小行星族、共轨卫星等实际天体的运动。

除天体力学外，其他学科也有多体问题，但都加以申明。

如量子力学多体问题、相对论多体问题、后牛顿多体问题等。

。【参考文献】：

1 Sternberg S．Celestial Mechanics．New York，USA：W．A．Benjamin Inc．，1969，2∶225～293

2 Brouwer D，Clemence G M着．天体力学方法．刘林，丁华译．北京：科学出版社，1986．283～309

3 易照华编着．天体力学基础．南京：南京大学出版社，1993．185～236

(南京大学博士生导师易照华教授撰)