标准差的传播

出处：按学科分类—工业技术 企业管理出版社《计量专业工程师手册》第79页（2282字）

在计量工作中，待求的未知量常不能直接测得，而是通过函数关系，由几个直接测得的量算出。比如电阻器电阻R是温度t的函数

R=R₀+αt

而R由R₀、α、t算出

一般，直接测得的量值x₁，x₂，…，的函数

f=f(x₁，x₂，…，x_N) (2．4－2)

若x_i的误差为δx_i，则f的误差

若x_i有m个误差值δx_ik(k=1，2，…，m)则f亦有m个误差

这种式子有m个，将各式平方和，得

因误差的平方平均即均方根差，若f，x_i的均方根差即标准差为σ_f，σ_i，则将上式两端除m，可得

引入协方差K_ij与相关系数ρ_ij：

则得

这个式子，可由自变量标准差算出函数的标准差，称为标准差传播律。

两误差间的相关系数ρ_ij表明它们之间线性关联的松紧程度，相关系数ρ_ij是一个界于〔－1，1〕之间的值，ρ_ij=0时，称两误差无关。

当各x_i误差彼此无关时，标准差传播律成为

〔例2．4－1〕正方形面积S为边长x函数

S=x²

若测得x=10．0mm，σ_x=0．1mm，则

S=100mm²

σ_s=2xσ_x=2×10×0．1mm²=2mm²

〔例2．4－2〕若f=k₁x₁+k₂x₂+…+k_Nx_N，其中k_i为常数，且各x_i误差无关，则

〔例2．4－3〕若f=x₁±x₂±…±x_N，且各x_i误差无关，则

即和差的方差为方差之和。

如三个电阻R₁，R₂，R₃它们的误差无关，且σ₁=1mΩ，σ₂=2mΩ，σ₃=3mΩ，则串联电阻R=R₁+R₂+R₃的标准差

〔例2．4－4〕若

f=x₁x₂／x₃

且各x_i误差无关，则

即积商的相对方差为相对方差之和。

如电压V与电流I之积为功率P

P=UI

若U、I误差无关、且U=1V，σ_V=0．001V，I=2A，σ_I=0．002A，则

〔例2．4－5〕 平均值的标准差

若对某量多次等精度独立测得为

x₁，x₂，…，x_n

因它们等精度，故σ₁=σ₂=…=σ_n=σ，又独立必然无关，从而平均值

的标准差

【参考文献】：

［1］王立吉，计量学基础，中国计量出版社，1988。

［2］BIPM、IEC、IFCC，IUPAC，IUPAP，OIML，Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement， ISO，1993．

［3］刘智敏，不确定度原理，中国计量出版社，1993。

［4］刘智敏，误差分布论，原子能出版社，1988。

［5］刘智敏，误差与数据处理，原子能出版社，1983。

［6］Liu Zhimin(刘智敏)，Measurement Uncertainty and Its Correlation Combination，Proceeding of ISEM， 1993．

［7］国家计量总局量值传递处编，计量技术考核纲要，计量出版社，1981。

［8］国家技术监督局审定，刘智敏等编审，全国计量检定人员考核统一试题集第六分册三，误差及数据处理，陕西科学技术出版社，1990。