函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数与其图象之间的关系

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《初中数理化公式定理大全》第69页（3179字）

1．a决定抛物线的开口方向．当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；反之亦然．

2．c决定抛物线与y轴的交点位置．

当c>0时，抛物线交y轴于正半轴上；当c=0时，抛物线过原点；当c<0时，抛物线交y轴于负半轴上，反之亦然．

3．决定抛物线的对称轴的位置(顶点的横坐标)．

当a，b同号时，抛物线的对称轴在y轴的左侧；当a，b异号时，抛物线的对称轴在y轴的右侧；当b=0时，抛物线的对称轴就是y轴．反之亦然．总之抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴平行于y轴或与y轴重合．

4．决定抛物线的最高点、最低点的高度(函数的最大值、最小值的大小)．

当a<0，b²－4ac>0时，抛物线的最高点在x轴的上方；

当a<0，b²－4ac<0时，抛物线的最高点在x轴的下方；

当a>0，b²－4ac>0时，抛物线的最低点在x轴的下方；

当a>0，b²－4ac<0时，抛物线的最低点在x轴的上方．

5．，决定抛物线的顶点位置．

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(，)．

例1 在同一坐标系内，函数y=k(x+1)和y=kx²(k≠0)的图象大致是( )．

A

B

C

D

答 D．

[解析] 假设k>0，抛物线开口向上．直线：y=kx+k，过第一、二、三象限．

故选D．

例2 已知：a<－1，点(a－1，y₁)，(a，y₂)，(a+1，y₃)都在函数y=x²的图象上，则( )．

A．y₁23 B．y₁32

C．y₃21 D．y₂13

答 C．

[解析] ∵二次函数y=x²，当x<0时y随x的增大而减小．

又∵a－1

∴y₁>y₂>y₃．

故选C．

例3 把抛物线y=－2x²向左平行移动两个单位得到抛物线( )．

A．y=－2x²+2

B．y=－2x²－2

C．y=－2(x+2)²

D．y=－2(x－2)²

答 C．

[解析] 平移规律：左加右减．

例4 把抛物线y=x²向上平行移动3个单位得到抛物线( )．

A．y=x²+3

B．y=x²－3

C．y=－2(x+2)²

D．y=－2(x－2)²

答 A．

[解析] 平移规律：上加下减．

例5 已知二次函数y=－x²+2(m1)x+2m－m²的图象关于y轴对称，则m等于( )．

A．0 B．1

C．2 D．3

答 B．

[解析] 二次函数的图象关于y轴对称即对称轴．

∴b=0，即：m=1．

故选B．

例6 抛物线y=ax²+bx+c中，若a>0，b<0，c=0，那么它的图象( )．

A．经过所有象限

B．不经过第一象限

C．不经过第二象限

D．不经过第三象限

答 D．

[解析] a>0开口向上；a>0，b<0．x=－>0，对称轴在y轴右侧；c=0，图象过原点，图象大致为右图．

故选D．

例7 若a<0，b<0，c<0，则函数y=ax²+bx+c的图象可能是下图中的( )．

答 B．

[解析] a<0，b<0，，对称轴在y轴左侧，故排除C、D．

A中图象过原点．c<0，故排除A．选B．

A

B

C

D

例8 已知二次函数y=－x²+x－1/4，y=－x²+x+3/4，y=－x²+x－5/4，则对于它们的图象不正确的结论为( )．

A．开口方向相同

B．对称轴相同

C．最高点的横坐标为1/2

D．最低点的横坐标为1/2

答 D．

[解析] 二次项系数a=－1<0，开口向下．a=－1，b=1．，开口向下有最高点．

故选D．