数理逻辑

出处：按学科分类—政治、法律 河北人民出版社《思想政治工作知识辞典》第591页（1140字）

一般地说，是数学与逻辑学交叉的一门边缘学科。从狭义上讲，它是指用数学方法研究数学思维、数学性质及数学基础(特别是无穷大)问题的一门学科。从广义上讲，它是指一切用符号和数学方法处理、研究演绎法的一门科学。正是从这个意义上把它称为符号逻辑。为了与传统逻辑区别开来，又把数理逻辑称为现代逻辑或逻辑斯蒂。数理逻辑的内容包括有：逻辑演算、集合论、证明论、模型论和递归论。

数理逻辑的发展经历了几个阶段。初期，它是用数学的方法来研究形式逻辑中的某些问题，例如，用数学中代表数量的变项“X”，“Y”和“Z”来代表概念；用数学中代表数量运算的符号“+”、“—”和“×”来代表概念问的关系，这就把由概念构成的判断形式转变为类似的数学的公式。首先作这种尝试的是德国的莱布尼茨(公元1646—1716年)，他说：“一切推理的正确性将化归于计算。……其中的字母和字将由推理来确定；除却事实的错误以外，所有的错误只由于计算失误而来。”据此，英国的布尔(公元1815—1864年)于1847年发表了《逻辑的数学分析；论演绎推理的演算法》，运用代数方法研究逻辑问题，建立了“逻辑代数”。之后，德国人弗雷格(公元1848—1925年)构造了命题演算的第一个公理系统，创造了谓词逻辑，并试图把全部算术形式化，奠定了数学证明论的基础。英国人罗素(公元1872—1970年)与怀德海合着的《数学原理》是当时数理逻辑研究成果的总结，可以说罗素是数理逻辑基础部分的完成者。

19世纪末叶，数理逻辑的研究开始转向数学证明与公理方法方面。德国人希尔伯特(公元1862—1943年)所着的《几何基础》一书是形式公理方法的划时代着作。他在1922年提出了证明论或元数学的研究方向，对于数理逻辑的发展进入一个新时代有重大影响。例如在希尔伯特上述观点的启示下，哥德尔在本世纪30年代证明的算术系统的不完全性定理以及谓词演算的完全性定理，就开辟了数理逻辑的新纪元，数理逻辑的发展已完全臻于成熟。40年代以后，数理逻辑开始在开关线路、自动化系统及计算设计等方面获得应用。今天，数理逻辑已成长为数学中一个成熟的分支；并且和计算机科学人工智能、语言学等有着广泛的联系。

数理逻辑是把数学方法引入到逻辑领域的结果。它使用表意符号的人工形式语言，用表意符号表达概念，用公式表达判断，从而可以象数学运算一样进行推演。它还使用公理化方法，建立起严密的演绎系统。这一切是与主要使用自然语言的传统形式逻辑完全不同的，决定了数理逻辑是逻辑科学发展的一个崭新阶段。