突变论

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第126页（1169字）

近十几年发展起来的一个新的数学分支。

运用拓扑学、奇点理论和结构稳定性等数学工具，研究自然界和人类社会中连续的渐变如何引起突变和飞跃，并力求以统一的数学模型来描述，预测并控制这些突变或飞跃。突变论在耗散结构论与协同学中的成功应用，对系统科学的发展起到了突出的推动作用。

突变论的创始人是法国数学家雷内·托姆。

托姆从生物学中的细胞、胚胎开始他的这项研究活动，1968年发表了这方面第一篇论文，1972年出版了《结构稳定性和形态发生学》一书，系统阐述了这一理论，荣获当时国际数学界的最高奖——菲尔兹奖章，引起了科学界的高度重视。

事物结构的稳定性是突变论的基础，事物的渐变状态正好对应于结构稳定态，而突变状态对应于不同结构稳定态之间的变化。从数学观点看，所谓突变，就是函数由一个极小值变到另一个极小值的过程。

托姆由此出发，提出了突变论中两个最基本概念：控制变量和反应变量。控制变量是指那些作为突变原因的连续变化因素；反应变量是指可能出现突变的量。

当控制变量不变时，反应变量处于稳定状态；当控制变量变化时，反应变量也随之变化，一般呈渐变状态；当控制变量达到某一阈值时，反应变量原有的稳态消失，发生突变。

突变理论指出，控制变量个数和反应变量个数决定了反应面上折叠区的基本数学性质，可以根据这些变量个数的不同把突变现象分为若干基本类型。托姆运用数学推导得出一个结论：控制变量不超过4个时，一共只有7种类型的基本突变，它们分别被称为尖角型、折迭型、燕尾型、蝴蝶型、双曲型、椭圆型和抛物型。科学家们认为，随着科学研究工作的发展，突变模型将变得越来越复杂。

目前，数学家已证明，当影响突变的控制变量超过了5个时，突变模型就可以呈现为无限多种类型，从而表明了自然界突变形态的丰富多彩。

突变论中，数学模型的建立一般有两条途径。一条途径是对大量具体的突变现象进行周密的观察和分析，找出其发展变化规律，并以数学公式来表述这一规律。它是完全定量化的、精确的数学模型，保留了突变现象的主要特征，还能用来解释、预测和控制非典型突变。另一条途径是非定量化的，借助类比建立起来的模型。类比是突变理论的重要内容之一，它通过对某一突变现象与典型突变之间的同异比较，来确定该突变的类型。

由于突变理论的直接研究对象是质变量变现象，故在哲学上也给人以许多新的启示。它是量变质变规律的一个很成功的数学模型，能够使人们对量变质变规律获得更为清楚、深刻的认识。

目前，突变论已逐渐运用到自然科学、社会科学、工程技术的各个领域，取得了令人可喜的成果。