函数的极限
出处:按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册(大学生用)》第31页(4206字)
自变量趋向有限值时函数的极限定义 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数ε,不论它多么小,总存在相应的正数δ,使得满足不等式0<|x-x0|<δ的一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式
|f(x)-A|<ε,则称常数A为函数f(x)当x→x0时的极限,记作
或f(x)→A(x→x0).
简述为“ε-δ”定义:,,使当0<|x-x0|<δ时,恒有|f(x)-A |<ε.(其中表示任意,表示存在.)
自变量趋向有限值时函数的极限几何意义 任意给定一正数ε,作平行于x轴的两条直线y=A+ε和y=A-ε,存在着点x0的一个去心δ邻域,当x属于时,y=f(x)的图形位于这两直线之间(见图2.7).
图2.7
左极限 ,,使当x0-δ<x<x0时,恒有|f(x)-A|<ε,记作
右极限 ,,使当x0<x<x0+δ时,恒有|f(x)-A|<ε,记作
定理
自变量趋向无穷大时函数的极限定义 如果对于任意给定的正数ε,总相应存在正数X,使得满足不等式|x|>X的一切x,所对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε,那么常数A就叫函数f(x)当x→∞时的极限,记作
几何意义 任意给定一正数ε,作平行于x轴的两条直线y=A+ε和y=A-ε,则总存在着一个正数X,使得当x<-X或x>X时,函数y=f(x)的图形位于这两直线之间(见图2.8).
图2.8
1.的情形
任给ε>0,存在X>0,当x>X时恒有
|f(x)-A|<ε.
2.的情形
任给ε>0,存在X>0,当x<-X时恒有
|f(x)-A |<ε.
定理 且
水平渐近线 如果,则直线y=c是曲线y=f(x)的水平渐近线.
铅直渐近线 如果,则直线x=x0是曲线y=f(x)的铅直渐近线.
极限的局部保号性定理
(1)如果,而且A>0(或A<0),那么就存在着点x0的某一去心邻域,当x在该邻域内时,就有f(x)>0(或f(x)<0).
(2)如果,那么就存在着x0的某一去心邻域,当时,就有.
(3)如果在x0的某一去心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0)而且,那么A≥0(或A≤0).
说明:以下记号“lim”是指对x→x0及x→∞都成立.
无穷小定义 若limf(x)=0,则称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小.
无穷小与函数极限的关系定理 ,其中α(x)是当x→x0(或x→∞)时的无穷小.
无穷大定义 若limf(x)=∞(指)(或|x|>N,N为某一正数)时,|f(x)|>M,M为任意正数),则称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷大.
正无穷大和负无穷大的定义 limf(x)=+∞(或limf(x)=-∞).(指f(x)>M(或f(x)<-M),M为任意正数.)
无穷小与无穷大的关系定理 若limf(x)=0(f(x)≠0),则反之也成立.
定理 有限个无穷小的和也是无穷小(注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小).
定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
定理 常数与无穷小的乘积是无穷小.
定理 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
极限的四则运算定理 设limf(x)=A,limg(x)=B,则
定理 如果limf(x)存在,且c为常数,则
lim[cf(x)]=climf(x).
定理 如果limf(x)存在,且n是正整数,则
lim[f(x)]n=[limf(x)]n.
局部不等性定理 如果φ(x)>ψ(x),且limφ(x)=a,limψ(x)=b,则a≥b.
复合函数的极限运算法则 设函数u=φ(x)当x→x0时的极限存在且等于a,即,但在点x0的某去心邻域内φ(x)≠a,又,则复合函数f[φ(x)]当x→x0时的极限也存在,且
夹逼准则Ⅰ 如果数列xn,yn及zn满足下列条件
yn≤xn≤zn(n=1,2,3,…),
且,,那么数列xn的极限存在,且.
夹逼准则Ⅱ 如果当(或|x|>M)时,有
g(x)≤f(x)≤h(x),
且limg(x)=A,limh(x)=A,那么limf(x)存在,且等于A.
单调数列
1.如果数列{xn}满足条件
x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…,
就称数列{xn}是单调递增数列.
2.如果数列{xn}满足条件
x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…,
就称数列{xn}是单调递减数列.
单调递增数列和单调递减数列统称为单调数列.
单调有界准则 单调有界数列必有极限.
柯西极限存在准则(柯西收敛原理) 数列{xn}收敛的充分必要条件是对于任意给定的正数ε,存在着这样的正整数N,使得当m>N,n>N时,恒有|xn-xm|<ε.
两个重要极限
无穷小的比较 设α,β是同一过程中的两个无穷小,且α≠0.
(1)如果,就说β是α的高阶无穷小,记作β=o(α).
(2)如果,就说β是α的低阶无穷小.
(3)如果l,就说β与α是同阶无穷小.特殊地,如果,则称β与α是等价无穷小.记作α~β.
(4)如果l,就说β是α的k阶无穷小.
常见的等价无穷小(以下等价无穷小均是在x→0时的情况)
sinx~x,arcsinx~x,tanx~x,arctanx~x,
ln(1+x)~x,.
等价无穷小代换定理
(1)设α~α′,β~β′,且l存在(或无穷大),则l存在(或无穷大),且
(2)设α~α′,β~β′,且l存在(或无穷大),则存在(或无穷大),且
(3)设α~α′,β~β′,γ~γ′,且l,则
定理 β与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o(α).