数列的极限
书籍：数学手册（大学生用）
出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第29页（782字）
数列定义 如果按照某一法则，有第1个数x1，第2个数x2，…这样依次序排列着，使得对应于任何一个正整数n有一个确定的数xn，那么，这列有次序的数xi，x2，…，xn，…就叫做数列，记作｛xn｝．数列中的每一个数叫做数列的项，第n项xn叫做数列的一般项．
数列的有界性定义 对数列｛xn｝，若存在正数M，使得对于一切自然数n，恒有|xn|≤M成立，则称数列｛xn｝有界；否则，称｛xn｝无界．
数列的极限定义 如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数N，使得对于n＞N时的一切xn，不等式|xn－a|＜ε都成立，则称常数a是数列xn的极限，或者称数列xn收敛于a，记为
如果数列没有极限，就说数列是发散的．
极限的惟一性定理 每个收敛的数列只有一个极限，即数列｛xn｝不能收敛于两个不同的极限．
收敛数列的有界性定理 收敛的数列必定有界，即如果数列｛xn｝收敛，那么数列｛xn｝一定有界．
收敛数列的有界性推论 无界数列必定发散．
子数列(或子列) 在数列｛xn｝中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列｛xn｝中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列｛xn｝的子数列．
收敛数列与其子数列间的关系定理 如果数列｛xn｝收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且收敛于a．