几何应用

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第105页（2220字）

平面图形的面积

1．直角坐标系情形

由曲线y=f(x)(f(x)≥0)及直线x=a，x=b(a＜b)与x轴所围成的曲边梯形的面积A是定积分

其中被积表达式f(x)dx是面积元素(见图7．3)．

图7．3

2．曲边为参数方程的情形

当曲边梯形的曲边y=f(x)(f(x)≥0，x∈［a，b］)由参数方程

给出时，曲边梯形的面积为

其中t₁和t₂对应曲线起点与终点的参数值．在［t₁，t₂］(或［t₂，t₁］)上x=φ(t)具有连续导数，y=ψ(t)连续．

3．极坐标系情形

设由曲线r=r(θ)及射线θ=α，θ=β围成一曲边扇形，求其面积．这里r(θ)在［α，β］上连续，且r(θ)≥0(见图7．4)．

图7．4

面积元素为

曲边扇形的面积为

体积

1．旋转体

由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转而成的立体，这条直线叫做旋转轴．

2．旋转体体积

求由连续曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体体积(见图7．5)．

图7．5

取以dx为底的窄曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素

dV=π［f(x)］²dx，

旋转体体积为

3．平行截面面积为已知的立体的体积

如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积A(x)，求这个立体的体积(见图7．6)．

图7．6

过点x且垂直于x轴的截面面积A(x)为x的已知连续函数，体积元素为

dV=A(x)dx，

立体体积为

平面曲线的弧长

1．平面曲线弧长的概念

设A，B是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点A=M₀，M₁，…，M_i，…M_n－1，M_n=B，并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长|的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长(见图7．7)．

图7．7

2．直角坐标情形下平面曲线弧长公式

曲线弧为y=f(x)(a≤x≤b)，f(x)在(a，b)上具有一阶连续导数，弧长元素为

弧长为

3．参数方程情形下平面曲线弧长公式

曲线弧为

其中φ(t)，ψ(t)在［α，β］上具有连续导数，弧长元素为

弧长为

4．极坐标情形下平面曲线弧长公式

曲线弧为

r=r(θ) (α≤θ≤β)，

其中r(θ)在［α，β］上具有连续导数，弧长元素为

弧长为