二重积分的计算方法

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第165页（1614字）

二重积分在直角坐标系中的计算方法 对积分域作如下的假定：与坐标轴平行的直线除与闭区域的边界外，相交不超过两点．

面积元素：dσ=dxdy．

将D投影到x轴上，得投影区间［a，b］(如图10．1所示)．在［a，b］上任作一条与y轴平行的直线，交边界两点A，B．它们的纵坐标分别为φ₁(x)，φ₂(x)，且φ₁(x)≤φ₂(x)，则

图10．1

f(x，y)dy称为内积分．积分时，x视作常数，称为外积分，上式也可表示为

如果内积分对x，外积分对y，则需将D投影到y轴上，得投影区间［c，d］(如图10．2所示)．在［c，d］上任取一点作与x轴平行的直线，与边界交C，D两点，

图10．2

其横坐标为φ₁(y)，φ₂(y)，且φ₂(y)≥φ₁(y)，则

例 计算．其中D是由x轴，x=1，y=x所围成．

解 内积分对y，外积分对x，原积分化为(如图10．3)

图 10．3

内积分对x，外积分对y，则原积分化为

二重积分在极坐标系中的计算方法 对积分域作如下假定：与过极点的半射线除边界外，与积分域相交不超过两点．

面积元素 dσ=rdrdθ (r，θ为极坐标)．

二重积分

计算分两种情况：极点在积分域内与极点不在积分域内．

(1)极点在积分域内，且假设积分域的边界曲线在极坐标中的方程为r=r(θ)，则

(2)极点不在积分域D内，且假设过极点的半射线除边界外与积分域相交不超过两点．作两条过极点的半射线θ=α，θ=β夹紧积分域D(如图10．4)．在区间［α，β］内任作一条过极点的半射线交边界曲线于两点C，D．它们的极半径分别为r₁(θ)，r₂(θ)，则

图10．4

例 ，其中D：x²+y²≤n²．

解 因为极点在域D内，又边界的方程为r=R，则

例 ，其中D：x²+y²≤2Rx(y≥0)．

解 因极点在边界上，不在域内(如图10．5)，则

图10．5