二重积分的概念与计算

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第163页（860字）

二重积分的概念 设f(x，y)是有界闭区域D上的有界函数．将D任意分成n个小闭区域△σi(i=1，2，…，n)．它也表示了第i小闭区域的面积，在△_σi(i=1，2，…，n)上任取一点(ξi，ηi)做乘积f(ξi，ηi)△σi(i=1，2，…，n)，并做和

如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋向于零时，和的极限总存在，则称此极限为函数f(x，y)在D上的二重积分，也叫f(x，y)在D上可积，记作‖f(x，y)·dσ，即

其中f(x，y)称被积函数，f(x，y)dσ称为被积表达式，dσ叫做面积元素，x，y称为积分变量，D称为积分区域．

二重积分的性质 以下各被积函数在积分区间内均可积．

此性质可推广到有限个函数的代数和．

(3)如果闭区域D可分为D₁与D₂，记作D=D₁+D₂，则

此性质可推广到D可以分为有限个闭域之和．

(4)如果在闭区域D上有f(x，y)≤g(x，y)，则

(5)设f(x，y)在闭区域D上连续，

则在D上至少存在一点(ξ，η)，使下式成立．

其中σ为D的面积．