二重积分的换元法

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第169页（662字）

二重积分的换元法 设f(x，y)在Oxy平面上的闭区域D上连续．变换

将Ouv平面上的闭区域D′变为Oxy平面上的D，且满足

(1)x(u，v)，y(u，v)在D′具有一阶连续偏导数，

(2)在D′上雅可比(Jacobi)行列式

其中

(3)变换T：D′→D是一对一的，则有

上式称为二重积分的换元公式．

注 雅可比式J(u，v)只在D′上个别点或一条曲线上为零，公式仍成立．

例 ，其中D是x≥0，y≥0及(R₁＜R₂)如图10．6所示的闭区域．

图10．6

解 做变换T

将D′：r=R₁，r=R₂，θ=0及变换为D，而雅可比式为

则