三重积分的概念及其计算法

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第175页（1549字）

三重积分的定义 设f(x，y，z)在空间有界闭区域Ω上有界，将Ω任分为n个小闭区域△v(它也表示其体积)(i=1，2，…，n)在△v(i=1，2，…，n)上任取一点(ξ，ηi，ξi)做和式

如果当各闭区域直径中的最大值λ趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x，y，z)的三重积分，记作，即

此时也称f(x，y，z)在Ω上可积．其中f(x，y，z)称为被积函数，x，y，z称为积分变量，dv称为体积元素，Ω称为积分域．

三重积分的性质 与二重积分的性质类似．

三重积分在直角坐标系中的计算方法

体积元素：dv=dxdydz．

积分域作如下假定：作与z轴平行的直线除边界外，与闭区域Ω的边界曲面的交点不超过两点A，B．它们的z坐标分别为z₁(x，y)，z₂(x，y)(z₁(x，y)≤z₂(x，y))，Ω在Oxy平面上的投影闭区间为D，则

内积分对z积分时，x，y视作常数．外积分为在闭区域D上二重积分，按二重积分在直角坐标系中的方法计算．

三重积分在柱坐标系中的计算方法

体积元素：dv=rdrdθdz．

三重积分：

Ω在平面Oxy上的投影域为D，则

其中z₁(rcosθ，rsinθ)，z₂(rcosθ，rsinθ)是与平行z轴的直线交Ω边界曲面的两个z坐标(z₁≤z₂)．

上式也可写为

三重积分在球坐标系中的计算方法 体积元素：dv=r²sinθdrdθdφ，r，θ，φ为球坐标，如图10．7所示．

图10．7

三重积分为

其中0≤r＜+∞，0≤θ≤π，0≤φ≤2π．

下面分两种情况介绍．

(1)如果原点在Ω内，而Ω的边界曲面在球坐标系中的方程为r=r(θ，φ)，则

(2)如果原点不在Ω内，且积分域Ω可表示为α≤φ≤β(α，β为常数)，θ₁(r)≤θ≤θ₂(φ)，r₁(θ，φ)≤r≤r₂(θ，φ)，则

例如：积分域Ω：x²+y²+z²≤2Rz可以表示为

则