微分法在几何上的应用
出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第149页（3134字）
空间曲线的切线与法平面方程
切向量 曲线上点M处切线的方向向量称为曲线的切向量(见图9．3)．
图9．3
法平面 过曲线上的点M且与切线垂直的平面称为法平面．
(1)设空间曲线的方程为
曲线在M处的切线方程为
切向量为T=｛φ′(t0)，ψ′(t0)，ω′(t0)｝．曲线在M处的法平面方程为
φ′(t0)(x－x0)+ψ′(t0)(y－y0)+ω′(t0)(z－z0)=0．
(2)设空间曲线方程为
在点M(x0，y0，z0)处的切线方程为
切向量为T=｛1，φ′(x0)，ψ′(x0)｝．曲线在M处的法平面方程为
(x－x0)+φ′(x0)(y－y0)+ψ′(x0)(z－z0)=0．
(3)空间曲线方程为
曲线在M处的切线方程为
曲线在M处的法平面方程为
空间曲面的切平面与法线方程
法线 通过点M(x0，y0，z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线．
法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量(见图9．4)．
图9．4
(1)设空间曲面的方程为F(x，y，z)=0，曲面在点M处的切平面方程为
Fx(x0，y0，z0)(x－x0)+Fy(x0，y0，z0)×(y－y0)+Fz(x0，y0，z0)(z－z0)=0．
曲面在点M处的法线方程为
曲面在M处的法向量为
n=｛Fx(x0，y0，z0)，Fy(x0，y0，z0)，Fz(x0，y0，z0)｝．
(2)空间曲面的方程为z=f(x，y)，曲面在点M处的切平面方程为
fx(x0，y0)(x－x0)+fy(x0，y0)(y－y0)=z－z0．
曲面在M处的法线方程为
方向余弦 若α，β，γ表示曲面法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角γ是锐角，则法向量的方向余弦为
其中
fx=fx(x0，y0)，fy=fy(x0，y0)．
方向导数 函数的增量f(x+△x，y+△y)－f(x，y)与PP′两点间的距离
之比值，当P′沿着l趋于P时，如果此比的极限存在(如图9．5)，则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数，记为
图9．5
特别地，函数f(x，y)在点P沿着x轴正向e1=｛1，0｝、y轴正向e2=｛0，1｝的方向导数分别为fx，fy；沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是－fx，－fy．
对于三元函数u=f(x，y，z)，它在空间一点P(x，y，z)沿着方向L的方向导数，可定义为
其中
定理 如果函数z=f(x，y)在点P(x，y)是可微分的，那么函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有
其中φ为x轴到方向l的转角．
如果函数u=f(x，y，z)在点P(x，y，z)是可微分的，那么函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有
其中方向l的方向角为α，β，γ．
梯度 设函数z=f(x，y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x，y)∈D，都可定出一个向量
这向量称为函数z=f(x，y)在点P(x，y)的梯度，记为
函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值，即
当
不为零时，x轴到梯度的转角的正切为
设函数u=f(x，y，z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x，y，z)∈G，梯度
等高线 曲线
称为函数z=f(x，y)的等高线．
梯度与等高线的关系 函数z=f(x，y)在点P(x，y)的梯度的方向与点P的等高线f(x，y)=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．
等量面 曲面f(x，y，z)=c(c为常数)为函数u=f(x，y，z)的等量面．
梯度与等量面的关系 函数u=f(x，y，z)在点P(x，y，z)的梯度的方向与过点P的等量面f(x，y，z)=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．