斯托克斯公式　环流量与旋度

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第201页（829字）

斯托克斯(Stokes)公式 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面．Γ的正方向与∑的侧符合右手规则⁽¹⁾．函数P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在包含曲面∑在内的一个空间闭区域内具有一阶连续偏导数，则

或

其中n=｛cosα，cosβ，cosγ｝为有向曲面∑的单位法向量．

空间曲线积分与路径无关的条件 设空间开区域G是一维单连通域⁽²⁾，函数P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在G内有一阶连续偏导数，则空间曲线积分在G内与路径无关(或说沿G内任意闭曲线的曲线积分的充分必要条件是在G内恒有

环流量与旋度

(1)设向量场A=Pi+Qj+Rk，则

称为向量场A的旋度．记为rotA，即

(2)设向量场A=Pi+Qj+Rk，则

称为向量场A沿有向曲线Γ的环流量．上式也可写为

其中At是向量A在有向曲线Γ的切线向量t上的投影．t=cosλi+cosμj+cosγk．cosλ，cosμ，cosγ是t的方向余弦．

斯托克斯公式可表示为向量形式：

(右边的ds是曲线Γ的弧微分，左边的dS是曲面∑的面积微分)