函数展开为幂级数的方法

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第223页（533字）

直接法 首先求出f(x)在x₀处的各阶导数，其次计算泰勒公式中的余项(ξ在x₀与x之间)在x的什么区域上趋向于0(当n→∞时)．

间接法 利用一些已知函数的幂级数的展开式、幂级数的运算(如四则运算，逐项微分法，逐项积分法)以及变量代换法，将所给函数展开为幂级数．

例1 将展开为麦克劳林级数．

逐项求导，得f(x)的麦克劳林级数

例2 将e^－x2展开为麦克劳林级数．

解 因为

将x用－x²代入，得e^－x2的麦克劳林级数，为

欧拉公式

e^ix=cosx+isinx，

由此可得