矩阵可对角化的条件

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第328页（654字）

A～A(其中A是对角矩阵)的充分必要条件

n阶矩阵A与对角矩阵A相似有n个线性无关的特征向量．

矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关 即A有m个互不相同的特征值λ₁，λ₂，…，λ_m，其特征向量分别是ξ₁，ξ₂，…，ξ_m，则ξ₁，ξ₂，…，ξ_m线性无关．

若n阶矩阵有n个互不相同的特征值，则A与对角矩阵相似．

特征值的重数与对应线性无关特征向量个数的关系 设λ₀是n阶矩阵A的一个k重特征值，则对应于λ0的线性无关特征向量的个数小于等于k．

矩阵A的不同特征值(包括重特征值)对应的特征向量线性无关

设λ₁，λ₂，…，λ_m是A的m个互不相同的特征值，属于λ_i的线性无关特征向量为ξ_i1，ξ_i2，…，ξ_iri(i=1，2，…，m)，则向量组ξ₁₁，ξ₁₂，…，ξ_1r1，ξ₂₁，ξ₂₂，…，ξ_2r2，…，ξ_m1，ξ_m2，…，ξ_mrm(共r₁+r₂+…+r_m≤n个)线性无关．

A～A的充要条件 n阶矩阵A相似于对角阵的每个r_i重特征值都有r_i个线性无关的特征向量(A的每个特征子空间V_λi的维数等于特征值λ_i的重数)．