线性子空间的定义
出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第346页（2168字）
定义 S是数域F上的线性空间，W是S的非空子集，若W对S的两种运算(加法和数量乘法)仍构成一个线性空间，则W称为S的线性子空间．
W是S的子空间的充分必要条件 W是S的子空间的充分必要条件是线性空间S的非空子集W对于S的两种运算封闭，即W是S的子空间的充分必要条件是：
(1)W是非空集．
(2)
，则α+β∈W．
(3)
，则kα∈W．
W是S的子空间的必要条件
(1)S的零向量0在W中．
(2)若
，则－α∈W．
(3)
，则
k1α1+k2α2+…+krαr∈W．
平凡子空间 线性空间S本身是S的一个子空间．
由S的单个零向量组成的集合也是S的子空间，称为零子空间．
以上两个子空间称为平凡子空间，其余子空间称为非平凡子空间．
生成子空间 设α1，α2，…，αr是线性空间S的一组向量，它们的全部线性组合所成的集合非空，满足封闭性条件，故是S的子空间，称为由向量α1，α2，…，αr生成的子空间，记作
L(α1，α2，…，αr)．
等价向量组生成相同的子空间 两个向量组生成相同的子空间的充分必要条件是两个向量组等价．
生成子空间的维数 生成子空间L(α1，α2，…；αr)的维数，等于向量组α1，α2，…，αr的秩r(α1，α2，…，αr)．
子空间的交 设W1，W2都是数域F上的线性空间S的子空间，则W1，W2的公共元素的集合记作W1∩W2，即
W1∩W2=｛αlα∈W1且α∈W2｝，
则W1∩W2也是S的子空间，称为子空间W1，W2的交．
子空间的和 设W1，W2都是数域F上的线性空间S的子空间，则集合｛α=α1+α2|α1∈W1，α2∈W2｝也是S的子空间，记成
W1+W2=｛α=α1+α2|α1∈W1，α2∈W2｝，
称为子空间W1与W2的和．
维数公式 设W1，W2是线性空间S的子空间，则公式
dimW1+dimW2=dim(W1+W2)+dim(W1∩W2)
称为维数公式，且有以下关系：
(1)因
，故
dim(W1∩W2)≤dimW1，dim(W1∩W2)≤dimW2．
(2)因
，
，故
dimW1≤dim(W1+W2)，dimW2≤dim(W1+W2)．
(3)若dimW1+dimW2＞dimS，则dim(W1∩W2)＞0．
(4)W1∩W2是S中既包含在W1内，又包含在W2内的最大的子空间．
(5)W1+W2是S中的既包含W1又包含W2的最小的子空间．
子空间的直和 设W1，W2是线性空间S的两个子空间，如果W1+W2中的每个向量α可表示成
α=α1+α2(其中α1∈W1，α2∈W2)，
且其表示法是惟一的，则称W1+W2为直和，记作
．
直和的充要条件 W1，W2是线性空间S的两个子空间，则
(1)W1+W2是直和
中的零向量可表示成
0=α1+α2(其中α1∈W1，α2∈W2)，
其表示法是惟一的．
(2)W1+W2是直和
W1∩W2=｛0｝．
(3)W1+W2是直和
dim(W1+W2)=dimW1+dimW2．