事件的独立性

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第373页（1130字）

两事件的独立性 若P(B|A)=P(B)，则称B对A是独立的，又叫做A与B独立．

(1)事件A与B独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B)．

(2)设两事件A，B，0＜P(A)＜1，A与B独立的充分必要条件是

(3)若事件A与B独立，则A与，与B，与都相互独立．

推论 对事件A与B，A与，与B，与，只要有一对相互独立，其余三对都相互独立．

(4)在P(A)＞0，P(B)＞0的情况下，A与B独立和A与B互斥不能同时成立，即独立一定不互斥，互斥一定不独立．

三事件的独立性

定义1 设A，B，C是三事件，如果

则称三事件A，B，C两两独立．

定义2 设A，B，C是三事件，如果

则称A，B，C为相互独立的事件．

一般地，当事件A，B，C两两独立时，等式

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

不一定成立．

A，B，C两两独立是A，B，C相互独立的必要条件但不是充分条件．

n个事件的独立性 设A₁，A₂，…，A_n是n个事件，如果对于任意k(1＜k≤n)，1≤i₁＜i₂＜…＜i_k≤n，具有等式

P(A_i1A_i2…A_ik)=P(A_i1)P(A_i2)…P(A_ik)，

则称A₁，A₂，…，A_n为相互独立的事件．

注 在上式中包含的等式总数为

在实际应用中，对于事件的独立性，往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的．

如果已知n个事件相互独立，则对其中的任何k(1＜k≤n)个事件，交事件的概率等于其中各个事件概率的乘积．