在长圆管中的流动

出处：按学科分类—工业技术中国轻工业出版社《塑料挤出制品生产工艺手册》第15页（2909字）

具有均匀圆形截面且沿管轴方向半径保持恒定的简单圆形管道，是很多成型设备中最常采用的流道形式。在简单圆管中的液体在压力作用下通常只产生一维剪切流动。如图1－19所示，半径为R长度为L的圆形导管水平放置时，取一半径为r、长度为dL的液体微圆柱体，简称微液柱。在这微液柱上受到F₁、F₂和F₃三个力的作用。F₁是推动微液柱由A向B端移动的动力，F₂是和F₁方向相反作用于微液柱另一端的阻力(它来自于液体的粘滞性)，F₃是微液柱外侧表面上由于剪切作用而产生的阻力。显然，液体中妨碍液体流动的阻力是沿管轴Z_A－Z_B方向而增加的，所以，克服这种流动阻力后，推动液体的压力也沿Z_AZ_B方向由p₁降低到p－p₀，相应于微液柱上两端的压力也由p₁降低到p₁－△p₁。在稳态层流时，作用于微液柱上的力都处于平衡状态，所以

F=F₁+F₂+F₃=0 (1－26)

即

πr²p₁－πr²(p₁－△p₁)－2πrτ_rdL=0 (1－27)

式(1－27)中τ_r为微液柱表面上的剪切应力。将式(1－27)整理得：

τ_r=(r／2)(△p₁／dL) (1－28)

式中(△p₁／dL)称为压力梯度，表示沿dL长度微液柱上压力的变化。在圆管全长L范围内，压力梯度为△p=p－p₀，所以圆管全长的压力梯度为(p－p₀)／L如果用△p／L代替式(1－28)中的△p／dL，则可计算距离管轴Z_A－Z_B任意半径r处的剪切应力：

τr=r△p／(2L) (1－29)

式(1－29)说明，液体中的剪切应力是半径r的线性函数。在管壁处的剪切应力为：

τ_w=(R△p)／(2L) (1－30)

在距管心任意半径r处的剪切应力τ_r与管壁处最大剪切应力τ_w的关系为：

τ_r=τ_w(r／R) (1－31)

根据式(1－9)(即)，将式(1－29)代入到式(1－9)，就有

－dv／dr=k［(r△p)／(2L)］^m(1－32)

式中的“－”表示：在图1－3中，v随y的增加而增大的，在图1－19中，v随r的增加而减少。

将式(1－32)改写为：

dv=－k［△p／(2L)］^mr^mdr (1－33)

对于一般液体，在管壁处流速为零，即v_［r=R］=0，不过塑料熔体流动时并不为零，但现在只能假设为零，在r处的液体流速为v，在区间(r→R，v_r－＞0)

内求积分：

经过数学处理，得：

Vr=k［△p／(2L)］^m［R^m+1／(m+1)］［1－(r／R)^m+1］ (1－34)

当r=0时，v₀［即v_max］为：

v₀=k［△P／2(L)］^m［R^m+1／(m+2)］ (1－35)

所以，式(1－34)可写成如下的形式：

v_r=v₀［1－(r／R)^m+1］ (1－36)

因为，微流量dQ=v_r·2πrdr

故有：

经数学处理，得：

Q=k［(πR³)／(m+3)］［(R△p)／(2L)］^m(1－37)

管道截面处平均流速v_a的物理意义是流量除以截面积，因此，v_a=Q／πR²，将式(1－37)代入计算即得：

v_a=k［R^m+1／(m+3)］［p／(2L)］^m(1－38)

由式(1－38)与式(1－34)可推导出圆管中某一半径r处的流速与平均流速的关系：

v_r／v_a=［(m+3)／(m+1)］［1－(r／R)^m+1］ (1－39)

图1－19 在长圆管中流动液体的受力分析与流动分析

(a)流体在等截圆管中流动 (b)流体在等截面圆管中的速度和应力分布

根据式(1－39)，取不同的m值，以(v_r／v_a)对r／R作图，可得如图1－20所示的流动速度分布曲线。

图1－20 n取不同值时圆管中流动液体的速度分布

对牛顿液体(n=1)，速度分布曲线是二次方的抛物线形；对于膨胀性液体，(n＞1)，速度分布曲线变得较为陡峭，n值愈大，愈接近于锥形；对于假塑性液体(n＜1)，速度分布曲线则较抛物线平坦。n愈小，管中心部分的速度分布愈平坦，曲线形状类似于柱塞，称这种流动为这“柱塞流动”，见图1－21。

从图1－21中可以看出，宾哈液体在圆管中流动时的速度分布曲线更具有明显的“柱塞”流动特征。为此，可以将柱塞流动看成是由两种流动成分组成。如果r为距管轴心某一半径，r^*为柱塞流动区域半径，R为圆管的半径，则在r＞r^*区域为剪切流动。因为在这一区域的液体中，剪切应力大于液体流动的屈服应力，即τ＞τ_y；在圆管中心部分［即r＜r^*的区域］，τ＜τ_y，因此这部分液体具有类似于固体的行为；在r=r^*处，τ=τ_y是一种流动转变为另一种流动的过渡区域。