概率

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第98页（2329字）

从纯形式化角度来看，它是一个在布尔代数上的可加正规测度。

通常把这种代数分别理解为事件代数和语句代数。采用事件代数时，概率理解为事件的性质；采用语句代数时，概率则理解为语句的性质。也就是说，在二种不同的情况下，概率这一术语作为一种性质(一种测度)同事件和语句联系起来。

可以用集合代数来刻画事件代数。

此时，使用集合论的语言集合表示“事件”。用集合A、B表示事件A，B发生。集合间的运算对应事件代数的语言是：集合A的补表示事件A不发生；集合A与B的交表示事件A，B同时发生；集合A与B的并表示事件A或事件B发生。全集Ω表示必然事件；空集表示不可能事件。

从语句代数的角度来看，概率定义为一个语句代数上的实值函数P，它满足如下的公理：

公理1 P(S)≥0

公理Ⅱ P(T)=1

公理Ⅲ P(SVt)=P(S)+P(t)，当时

由此可推出

定理1 P(F)=0

定理2

定理3 P(S∨t)=P(S)+P(t)－P(S∧t)

其中，S，t是语句代数中的任何语句。

T表示语句真，F表示语句假。

若给定语句e，s。且p(e)＞0我们定义

定义1 P(S／e)=P(S∧e)／p(e)

此时，若e=T ∵p(e)=p(T)=1

则 P(S／e)=p(s)；

此式说明：在真条件的语句概率，就是它的无条件概率。

由此我们还可定义：

定义2：称语句S与e是随机独立的当且仅当

P(S／e)=P(s)

考虑到定义1，上式等价于

P(S∧t)=p(s)·p(e)。

定义3：称语句S对e的正相关

当且仅当 P(S／e)＞P(S)；称语S对e负相关当且仅当P(S／e)＜P(S)。

以上，可以看成是对概率这一术语的形式解释。事实上事件概率和语句概率都可看成是客观概率。有时也称事件概率是数学概率(即统计的和频率的解释)。而把语句概率称为逻辑的解释。

所谓统计的或频率的解释是面对事件的某一论域∪而言的。是指在某些可重复的即一定条件下某一事件发生的可能性程度的客观表述。

例如，婴儿的出生率；某一字母在文字中的出现率，降雨量，废品率，癌症在某人群中的发病率等。

它们具有的基本特征是：在所述条件多次重复的情况下，该事件出现的频率(即事件发生的次数与全部观察的总次数的比)随着试验次数的增加呈现一定程度的稳定性或者说频率的稳定性趋向于一个定值P。当我们把P作为事件发生的可能性的量度时，就称P为数学概率。这当中包含着的潜在规律性称为统计规律性。

所谓逻辑的解释是指把概率与语句联系在一起。让语句S的概率依赖于表述S的语言L。把P(S)理解为允许选择为真的对象数目除以语言中可识别的选择对象的总数的比值。

语言L可由原子语句S₁，S₂，…S_n和语句联接词的有限集合定义。

对L来说，世界的任何描述均可由下列构成成份的折取式表达：

上式中S_i^*表示语句S_i或者S_i的否定。

对于世界的描述用L语言中的语句来表述。

此时语句S均可由上式的构成成份的折取来给出。若此折取表述式的构成成份的个数是W(S)，由于由n个原子语句构成的语言L的总构成成份的不同组合是2ⁿ。

所以语句S的概率可表示为：

P(S)=W(S)／2ⁿ

除了上面讨论的二种概率的客观解释外，还有主观主义的解释(主观概率、私人概率)。

这里概率事实上是作为人的主观信念的测度。

显然，它与人所掌握的知识(知识体)、人的心理特点有关。如果用P表示某人，S表示某事物，则主观概率P(S)表示人P对S的相信为真的程度。

若假定a是P对S接收为真的信度值，而b是p对接收为真的信度值，则P(S)=a／a+b。

对概率的解释除了上面提到的三点之外，还可从不同角度对概率进行解释，例如，概率的衍涵度解释，概率的认识论解释等。对概率的解释常常伴随着与概率逻辑的研究密切相关的内容。而概率逻辑作为归纳逻辑的一部分又常与对归纳本质的认识联系在一起。

故而，概率的解释是一个十分深奥、极有争议的课题。