线性规划灵敏度分析

出处：按学科分类—经济 中国财政经济出版社《中国物资管理辞典》第501页（1478字）

关于线性规划模型中有关参数发生变化，对问题最优解的影响程度和容许变动范围进行分析的一种方法，也叫敏感性分析或优化后分析，数学上又叫参数规划。

由于系统内部和外界环境的变化，导致线性规划模型中的一些参数也会发生动态变化，这时就需要分析：随着参数的变化，原来求得的最优解是否也会改变；或者，如果想维持现有最优计划安排，允许这些参数在多大范围内可以变动，以便及时进行有效调整和控制，使决策行为和经营生产管理经常处于最佳状态。灵敏度分析的内容包括：(1)目标函数系数C_j变化的灵敏度分析。

为分析非基底变量和基底变量的目标函数系数在多大的变动范围内变动不致影响现在的最优解，令G_j为某非基底变量X_j的目标函数系数C_j的偏差，Z_j为其单位损失，显然，为了保持现在的最优状况，如目标函数为求最大值，下列的不等式应成立：

(C_j+G_j)－Z_j<0

因此，G_j=Z_j－C_j，就是该非基底变量Xj目标函数系数C_j的偏差上界，如G_j＞(Z_j－C_j)，就会破坏现在的最优状况。至于C_i的下界，可减少无穷大也不会破坏现在的最优状况。因此，非基底变量X_j的目标函数系数C_j的偏差下界与上界可确定为：－∞jj；相应地，C_j的变动范围为：－∞<(C_j+G_j)<(C_j+Z_j)。基底变量X_Bj的目标函数系数C_j的偏差范围，一般可按下式计算确定：

(即选取最小的负值)

式中：C_j－Z_j——最终单纯形表中各列非基底变量的C_j－Z_j的值，a_ij——最终单纯形表中与该基底变量X_Bj位于同一行的各列非基底变量相应的置换比例。

相应地，C_j的变动范围为：

(2)约束方程中常数项b_i变化的灵敏度分析。约束方程中的常数项b_i，表明资源(材料、设备、人力等)的限制条件。

常数项b_i变化的灵敏度分析就是确定b_i的变动范围，使该项资源的影子价格保持不变，从而维持原来达成的最优状况。根据约束方程式，在等式左端增加一个与该项资源b_i相联系的松弛变量S_i(正值)，相当于在右端减少等值的b_i；反之，在等式左端减少一个相应的松弛变量S_i(负值)，相当于在右端增加等值的b_i。因此，确定了与该资源b_i相联系的松弛变量的(+)Q_i／S_i比，选择其中最小的正值，就能确定b_i可以减少的等值，这就是b_i的偏差下界。同理，确定了相应松弛变量的(－)Q_i／S_i比，选择其中最大的负值(即选取最小的绝对值)，就能确定b_i可以增加的等值，这就是b_i的偏差上界。

Q_i／S_i的计算公式如下：

式中：a_ij——最终单纯形表中与b_i相联系的相应松弛变量S_i列的各项置换比。Q_i——最终单纯形表中b_i列与各a_ij值相对应的b_i的解答值。

相应地，常数项b_i的变动范围，可确定为：

(3)约束条件系数矩阵的灵敏度分析。主要分析增加一个变量(如增加新产品生产)是否有利，最优解是否会改变。这主要决定于该种新产品每单位所提供的利润，能否抵偿它所需的单位机会成本，而且有盈余。利用资源的影子价格和每单位产品需用各种资源的数量a_ij，可确定生产该种产品每单位所需机会成本为：

如果该种产品每单位提供的利润大于其机会成本，则生产新产品有利，将进入基底，改变现在的最优解。

反之，则保持现在的状况。