Klein群的有限性定理

书籍：现代科技综述大辞典上更新时间：2018-09-11 01:49:27

出处：按学科分类—自然科学总论北京出版社《现代科技综述大辞典上》第22页（2615字）

群理论是19世纪Schottky、Klein和Poincare创立的。

此后长期没有得到充分地发展。直到近年来，由于Thurston的工作，Klein群的几何与拓扑的方法才得到明显的进展。Klein群的解析理论是从1964年Ahlfors的文章《Finitely generated Kleinian groups》开始的。文中的Ahlfors有性定理是解析理论的基础。

从此，有限生成的Klein群曾一度成为Klein群理论研究的中心课题。

设Г是一个Klein群，Ω=Ω(Г)是Г的全不连续区域，是它的极限集，则轨道空间Ω(Г)／Г是一些Riemann曲面的并。如果△是Ω的一个分支，Г_△是△的稳定子群，则△／Г_△是分岐的Riemann曲面。两个分支△₁，△₂称为共轭的，如果有γ∈Г，使得γ(△₁)=△₂。

如果△₁，△₂，…，是Г的两两不共轭的完备的分支，Г_j=Г△j，则

(1)Ω(Г)／Г≈∪△₁／Г₁+∪△₂／Г₂+…

称Klein群Г在分支△上是有限型的，如果△／Г△是由一个紧Riemann曲面去掉有限个点得到的。称Klein群Г是有限解析型的，如果它只有有限个非共轭的分支，而且在每个分支上都是有限型的。Ahlfors得到Ahlfors有限性定理：有限生成的Klein群是有限解析型的。

这个定理的逆定理是不真的。

1967年Bers得到更精细的结果。如果Г是非初等的Kelin群，Ω的每个分支△都有Poincare度量，而且这个度量可以诱导到Ω／Г上。这时可以计算出Ω／Г的面积Area(Ω／Г)。Г是有限解析型的，当且仅当Area(Ω／Г)是有限的。

Bers得到两个有限性定理，其中Bers第一有限性定理也称为面积定理。

Bers面积定理：如果Г有N个生成元，则Area(Ω／Г)≤4π(N－1)。

Bers第二有限性定理：如果K(Г)为Ω／Г的分支数，则K(Г)≤18(N－1)。

Bers的面积不等式是准确的，当Г是Schottky群时等式成立。

对分支数不等式，Maskit猜测K(Г)≤2(N－1)，至今尚未证实。

20世纪70年代Kra［3］研究了Klein群的自守形式和Eichler上同调理论，这一理论更适合于讨论有限性定理。一个Ω上的可测函数μ称为权(－2q)的自守形式，如果(γ(z))γ′^q(z)=μ(z)，对一切γ∈Г成立。对q≥2，为Ω上有界的自守形式空间，B_q(Ω，Г)为它的全纯子空间。

设П_2q－2是阶数不超过2q－2的多项式全体，群Г按规律：右作用在П_2q－2上。映射x：Г→П_2q－2称为上闭链如果x(γ₁·γ₂)=x(γ₁)·γ₂+x(γ₂)，对一切γ₁，γ₂∈Г成立。对每个P∈П_2q－2，映射x∶γ→P·γ－P称为上边缘链。显然，上边缘链必是上闭链。一阶Eichler上同调群Н1(Г，П_2q－2)是上闭链除以上边缘链所得的商空间。如果Г是有限生成的，生成元个数为N，则dimH¹(Г，П_2q－2)≤(2q－1)(N－1)。