半线性格

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第23页（1732字）

也称半向量格，指的是含有与格结构相容的半线性结构的格。

是线性格或向量格概念的推广，是一种特殊的半群格。半线性结构，或称半向量结构，是一种较线性结构要弱的结构，在半线性结构中含有加法与数乘两种运算，但并不构成线性空间，它在加法运算下只是具有零元的加法半群，而数乘运算也不满足向量关于纯量加法的分配律。

半线性格的概念有着重要的实际背景，研究半线性格及各种特殊的半线性格的种种性质具有重要意义。

由某个给定集合的一切子集所成之族在集合的包含关系下构成格，被称为该集合上的子集格。

对于子集格的研究由来已久。20世纪下半叶以来，集值映射理论的发展进一步促进对于子集格的研究。

自1965年美国自动控制论教授勒·阿·扎德(L．A．Zadeh)提出模糊集合的概念后，人们开始对于模糊子集格即由某个给定集合上的一切模糊子集所成的格的研究。子集格与模糊子集格的非常重要的特殊情形是当给定的集合为线性空间的时候。这时，给定集合中的加法与数乘的线性运算会自然诱导出其上的子集格与模糊子集格中相应的加法与数乘运算，这样诱导出的运算虽不能使得格成为线性格，但它保留有线性运算的部分性质，而且与格运算具有适当的相容性。

通过对上述一些模型的共性的分析，1991年范先令抽象出半线性格概念。

其定义如下：

如果一个格L中含有加法运算“+”与数域K上的数乘运算“·”：K×L→L，使得L在加法运算下是具有零元θ的交换半群，且对于任意的x，y，2∈L，与λ₁，λ₂，λ∈K，有：

(1)λ₁(λ₂x)=(λ₁λ₂)x，

(2)λ(x+y)=λx+λy，

(3)1x=x，

(4)λθ=θ，

(5)x+(y∨z)=(x+y)∨(x+z)，

(6)λ(x+y)=(λx)∨(λy)，

(7)(λ₁+λ₂)x≤λ₁x+λ₂x，

(8)θx≤θ。

则称L为半线性格(或半向量格)。

目前对于半线性格的研究还仅刚刚开始，而且只是研究了半线性格的一些基本性质；研究了半线性格中的某些具特殊性质的元，如线性元与凸元；研究了某些特殊的半线性格，如半线性完备格，半线性闭集格，半线性分子格等。

半线性格的理论有很大的发展前景。目前格的理论内容已非常丰富，在格中增添半线性结构后会产生一系列需进一步研究的新问题。近期的研究热点有下述两个方面：一是对于半线性格范畴本身的研究。

例如半线性格间的态射尚需研究。二是研究所谓拓扑半线性格，即在半线性格中增添适当的拓扑结构的情形。

这方面，拓扑线性空间上的子集格与模糊子集格可提供良好的素材。现在已经有比较成功的模糊拓扑线性空间与拓扑分子格等理论，这为研究拓扑半线性格奠定了基础。进一步，可望建立拓扑半线性格上的分析学。

。【参考文献】：

1 Birkhoff G．Amer Math Soc，1948，25

2 Katsaras A K，et al．J．Math Anal Appl，1977，58∶136～146

3 王国俊．中国科学，1983，12(A)∶1063～1072

4 吴从忻．模糊数学，1985，1∶1～14

5 范先令．数学年刊，1991，A11(3)∶257～264

(兰州大学博士生导师范先令撰)